某射手每次射击击中目标的概率是 $\dfrac{2}{3}$，且各次射击的结果互不影响．
【难度】
【出处】
2010年高考天津卷（理）
【标注】
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假设这名射手射击 $ 5 $ 次，求恰有 $ 2 $ 次击中目标的概率；标注答案解析设 $X$ 为射手在 $ 5 $ 次射击中击中目标的次数，则 $X \sim B\left( {5,\dfrac{2}{3}} \right)$．
在 $ 5 $ 次射击中，恰有 $ 2 $ 次击中目标的概率\[ P\left(X = 2\right) = {\mathrm{C}}_5^2 \times {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} \times {\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)^3} = \dfrac{{40}}{{243}}. \] -
假设这名射手射击 $ 5 $ 次，求有 $ 3 $ 次连续击中目标．另外 $ 2 $ 次未击中目标的概率；标注答案解析设“第 $i$ 次射击击中目标”为事件 ${A_i}\left(i = 1,2,3,4,5\right)$；
“射手在 $ 5 $ 次射击中，有 $ 3 $ 次连续击中目标，另外 $ 2 $ 次未击中目标”为事件 $A$，
则\[ \begin{split}P\left(A\right) &= P\left({A_1}{A_2}{A_3}\overline {{A_4}} \overline {{A_5}} \right) + P\left(\overline {{A_1}} {A_2}{A_3}{A_4}\overline {{A_5}} \right) + P\left(\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}{A_4}{A_5}\right) \\&
= {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3} \times {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} + \dfrac{1}{3} \times {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3} \times \dfrac{1}{3} + {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} \times {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3}
= \dfrac{8}{{81}}. \end{split}\] -
假设这名射手射击 $ 3 $ 次，每次射击，击中目标得 $ 1 $ 分，未击中目标得 $ 0 $ 分，在 $ 3 $ 次射击中，若有 $ 2 $ 次连续击中，而另外 $ 1 $ 次未击中，则额外加 $ 1 $ 分；若 $ 3 $ 次全击中，则额外加 $ 3 $ 分，记 $\xi $ 为射手射击 $ 3 $ 次后的总的分数，求 $\xi $ 的分布列．标注答案解析由题意可知，$\xi $ 的所有可能取值为 $0,1,2,3,6$，则\[ \begin{split} P\left(\xi = 0\right) & = P\left(\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} \overline {{A_3}} \right) = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3} = \dfrac{1}{{27}}, \\ P\left(\xi = 1\right) & = P\left({A_1}\overline {{A_2}} \overline {{A_3}} \right) + P\left(\overline {{A_1}} A\overline {_2{A_3}} \right) + P\left(\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}\right) \\&
= \dfrac{2}{3} \times {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} + {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}, \\ P\left(\xi = 2\right) & = P\left({A_1}\overline {{A_2}} {A_3}\right) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{{27}} , \\ P\left(\xi = 3\right) & = P\left({A_1}{A_2}\overline {{A_3}} \right) + P\left(\overline {{A_1}} {A_2}{A_3}\right) \\& = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{8}{{27}} , \\ P\left(\xi = 6\right) & = P\left({A_1}{A_2}{A_3}\right) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3} = \dfrac{8}{{27}} .\end{split} \]所以 $\xi $ 的分布列是\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
\xi & 0 &1 &2 & 3 & 6 \\ \hline
P & \dfrac{1}{{27}} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{4}{{27}} & \dfrac{8}{{27}} & \dfrac{8}{{27}} \\ \hline
\end{array} \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
