由 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$，得 $3{a^2} = 4{c^2}$，再由 ${c^2} = {a^2} - {b^2}$，得 $a = 2b$；
由题意可知，$\dfrac{1}{2} \times 2a \times 2b = 4$，即 $ab = 2$．
解方程组\[ \begin{cases}
{a = 2b} ,\\
{ab = 2},
\end{cases}\]得 $ a=2 $，$ b=1 $，所以椭圆的方程为 $\dfrac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1$．

由（1）可知 $ A\left(-2,0\right) $．设 $ B $ 点的坐标为 $ \left(x_{1,},y_{1}\right) $，直线 $ l $ 的斜率为 $ k $，则直线 $ l $ 的方程为 $ y=k\left(x+2\right) $，
于是 $ A,B $ 两点的坐标满足方程组\[\begin{cases}
{y = k\left(x + 2\right)} ,\\
{\dfrac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1}.
\end{cases} \]由方程组消去 $ y $ 并整理，得\[\left(1 + 4{k^2}\right){x^2} + 16{k^2}x + \left(16{k^2} - 4\right) = 0,\]由 $ - 2{x_1} = \dfrac{{16{k^2} - 4}}{{1 + 4{k^2}}}$，得 ${x_1} = \dfrac{{2 - 8{k^2}}}{{1 + 4{k^2}}}$，从而 ${y_1} = \dfrac{{4{k^{}}}}{{1 + 4{k^2}}}$．
设线段 $ AB $ 是中点为 $ M $，则 $ M $ 的坐标为 $\left( - \dfrac{{8{k^2}}}{{1 + 4{k^2}}},\dfrac{{2{k^{}}}}{{1 + 4{k^2}}}\right)$．
以下分两种情况：
（i）当 $ k=0 $ 时，点 $ B $ 的坐标为 $ \left(2,0\right) $．线段 $ AB $ 的垂直平分线为 $ y $ 轴，于是\[\overrightarrow {QA}= \left( - 2, - {{ {y}}_0}\right),\overrightarrow {QB} = \left(2, - {y_0}\right).\]由 $ \overrightarrow {QA} \cdot \overrightarrow {QB} = 4$，得 ${y_0} = \pm 2\sqrt 2 $．
（ii）当 $k \ne 0$ 时，线段 $ AB $ 的垂直平分线方程为\[ y - \dfrac{{2{k^{}}}}{{1 + 4{k^2}}} = \dfrac{1}{k}\left(x + \dfrac{{8{k^2}}}{{1 + 4{k^2}}}\right) . \]令 $ x=0 $，解得 ${y_0} = \dfrac{{6{k^{}}}}{{1 + 4{k^2}}}$．
由 $ \overrightarrow {QA} = \left( - 2, - {{ {y}}_0}\right)$，$\overrightarrow {QB} = \left({x_1},{y_1} - {y_0}\right) $ 及\[ \begin{split} \overrightarrow {QA} \cdot \overrightarrow {QB} & = - 2{x_1} - {y_0}\left({y_1} - {y_0}\right) \\&= \dfrac{{ - 2\left(2 - 8{k^2}\right)}}{{1 + 4{k^2}}} + \dfrac{{6{k^{}}}}{{1 + 4{k^2}}}\left(\dfrac{{4k}}{{1 + 4{k^2}}} + \dfrac{{6k}}{{1 + 4{k^2}}}\right) \\& = \dfrac {4\left(16k^4+15k^2-1\right)} {\left(1+4k^2\right)^2} =4, \end{split} \]整理得 $7{k^2} = 2$，故 $k = \pm \dfrac{{\sqrt {14} }}{7}$，所以 ${y_0} = \pm \dfrac{{2\sqrt {14} }}{5}$．
综上，${y_0} = \pm 2\sqrt 2$ 或 ${y_0} = \pm \dfrac{{2\sqrt {14} }}{5}$．