设 $ M\left(x,y\right)$，则 $\overrightarrow {AM} = \left( {x,y - b} \right),\overrightarrow {AQ} = \left( {a, - b} \right),\overrightarrow {AB} = \left( {0, - 2b} \right),$ 由已知，得\[\left( {x,y - b} \right) = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {a, - b} \right) + \left( {0, - 2b} \right)} \right] = \left( {\frac{1}{2}a, - \frac{3}{2}b} \right),\]从而\[\left\{ \begin{gathered} x{\text{ = }}\frac{1}{2}a, \\ y - b{\text{ = }} - \frac{3}{2}b, \\ \end{gathered} \right.\]解得 $M $ 点的坐标为\[\left( {\dfrac{1}{2}a, - \frac{1}{2}b} \right).\]

设 $C\left( {{x_1},{y_1}} \right),D\left( {{x_2},{y_2}} \right)$．由题意，得方程组\[\left\{ \begin{gathered}y = {k_1}x + p, \\ \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1, \\ \end{gathered} \right.\]消去 $y $，得\[\left( {{b^2} + {a^2}k_1^2} \right){x^2} + 2{a^2}{k_1}px + {a^2}{p^2} - {a^2}{b^2} = 0,\]则\[{x_1} + {x_2} = - \dfrac{{2{a^2}{k_1}p}}{{{b^2} + {a^2}k_1^2}},\]设 $ CD$ 中点为 $ G\left(x_0,y_0\right)$，则\[{x_0} = - \dfrac{{{a^2}{k_1}p}}{{{b^2} + {a^2}k_1^2}},{y_0} = {k_1}{x_0} + p = {k_1}\left( { - \frac{{{a^2}{k_1}p}}{{{b^2} + {a^2}k_1^2}}} \right) + p = \frac{{p{b^2}}}{{{b^2} + {a^2}k_1^2}},\]即\[G\left( { - \dfrac{{{a^2}{k_1}p}}{{{b^2} + {a^2}k_1^2}},\frac{{p{b^2}}}{{{b^2} + {a^2}k_1^2}}} \right).\]解方程组\[\left\{ \begin{gathered}y = {k_1}x + p, \\ y = {k_2}x, \\ \end{gathered} \right.\]得直线 $l_1、l_2 $ 的交点 $ E$ 的坐标为\[\left( {\dfrac{p}{{{k_2} - {k_1}}},\frac{{{k_2}p}}{{{k_2} - {k_1}}}} \right),\]因为 ${k_1}{k_2} = - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}},$ 所以直线 $l_1、l_2 $ 的交点 $ E$ 的坐标为\[\left( { - \dfrac{{{a^2}{k_1}p}}{{{b^2} + {a^2}k_1^2}},\frac{{p{b^2}}}{{{b^2} + {a^2}k_1^2}}} \right).\]因此 $ G$ 与 $ E$ 重合，即 $ E$ 为 $ CD$ 的中点，

当 $F $ 为 $P_1P_2 $ 的中点时，由于 $ F$ 为 $PQ $ 的中点，所以四边形 $ PP_2QP_1$ 为平行四边形，从而 $\overrightarrow {P{P_1}} + \overrightarrow {P{P_2}} = \overrightarrow {PQ} $ 成立．
若 $a=10,b=5 $，则椭圆方程为\[\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1,\]从而\[Q\left( {10,0} \right),F\left( {1, - \dfrac{1}{2}} \right).\]设 ${P_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right),$ 则\[{P_2}\left( {2 - {x_1}, - 1 - {y_1}} \right).\]将 $P_1、P_2 $ 的坐标代入椭圆方程，得\[\dfrac{{x_1^2}}{{100}} + \dfrac{{y_1^2}}{{25}} = 1, \cdots \cdots ① \]\[\dfrac{{{{\left( {2 - {x_1}} \right)}^2}}}{{100}} + \dfrac{{{{\left( { - 1 - {y_1}} \right)}^2}}}{{25}} = 1, \cdots \cdots ② \]两式相减，得\[{x_1}{\text{ = }}2{y_1}{\text{ + }}2. \cdots \cdots ③ \]联立 $ ①③ $ 消去 $ x_1$ 得\[y_1^2 + {y_1} - 12 = 0,\]解得\[y_1=3或y_2=-4. \]可得\[{P_1}\left( {8,3} \right),{P_2}\left( { - 6 - 4} \right)或{P_1}\left( { - 6 - 4} \right),{P_2}\left( {8,3} \right).\]