$ f'\left(x\right)={\dfrac{1}{k}}\left(x^2-k^2\right){\mathrm{e}}^{\frac{x}{k}} $，令 $ f'\left(x\right)=0 $，得 $ x=\pm k $．
当 $ k>0 $ 时，$ f\left(x\right) $ 与 $ f ′\left(x\right) $ 的情况如下：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
x &\left(-\infty ,-k\right) &-k &\left(-k,k\right)& k& \left(k,+\infty \right) \\ \hline
f'\left(x\right)& + &0 & - &0 & + \\ \hline
f\left(x\right) &↗ &4k^2{\mathrm{e}}^{-1}& ↘& 0 &↗ \\ \hline
\end{array}\]所以，$ f\left(x\right) $ 的单调递增区间是 $ \left(-\infty ,-k\right) $ 和 $ \left(k,+\infty \right) $；单调递减区间是 $ \left(-k,k\right) $．
当 $ k<0 $ 时，$ f\left(x\right) $ 与 $ f'\left(x\right) $ 的情况如下：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
x& \left(-\infty ,k\right)& k &\left(k,-k\right) &-k &\left(-k,+\infty \right) \\ \hline
f'\left(x\right) &-& 0& +& 0& - \\ \hline
f\left(x\right) & ↘&0& ↗& 4k^2{\mathrm{e}}^{-1} & ↘ \\ \hline
\end{array}\]所以，$ f\left(x\right) $ 的单调递减区间是 $ \left(-\infty ,k\right) $ 和 $ \left(-k,+\infty \right) $；单调递增区间是 $ \left(k,-k\right) $．

当 $ k>0 $ 时，因为 $ f\left(k+1\right)={\mathrm{e}}^{\frac{k+1}{k}}>{\dfrac{1}{{\mathrm{e}}}} $，所以不会有 $ x\in \left(0,+\infty \right)$，$f\left(x\right) \leqslant {\dfrac{1}{{\mathrm{e}}}} $．
当 $ k<0 $ 时，由（1）知 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left(0,+\infty \right) $ 上的最大值是 $ f\left(-k\right)={\dfrac{4k^2}{{\mathrm{e}}}} $．
所以 $ x\in \left(0,+\infty \right) $，$ f\left(x\right)\leqslant {\dfrac{1}{{\mathrm{e}}}} $ 等价于 $ f\left(-k\right)={\dfrac{4k^2}{{\mathrm{e}}}}\leqslant {\dfrac{1}{{\mathrm{e}}}} $，解得 $ -{\dfrac{1}{2}}\leqslant k<0 $．
故当 $ x\in \left(0,+\infty \right) $，$ f\left(x\right)\leqslant {\dfrac{1}{{\mathrm{e}}}} $ 时，$ k $ 的取值范围是 $ \left[-{\dfrac{1}{2}},0 \right)$．