设 $ F_{1},F_{2} $ 分别为椭圆 $C:\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} =1\left(a>b>0\right)$ 的左、右焦点，过 $ F_{2} $ 的直线 $ l $ 与椭圆 $ C $ 相交于 $ A,B $ 两点，直线 $ l $ 的倾斜角为 $ 60^\circ $，$ F_{1} $ 到直线 $ l $ 的距离为 $2\sqrt 3 $．
【难度】
【出处】
2010年高考辽宁卷（文）
【标注】
-
求椭圆 $ C $ 的焦距；标注答案解析设焦距为 $ 2c $，由已知可得 $ F_{1} $ 到直线 $ l $ 的距离\[\sqrt {3} c= 2\sqrt 3 ,\]故 $c = 2$．所以椭圆 $ C $ 的焦距为 $4$．
-
如果 $\overrightarrow {A{F_2}} = 2\overrightarrow {{F_2}B} $，求椭圆 $ C $ 的方程．标注答案解析设 $ A\left( { x _ 1 },{ y _ 1 } \right),B\left( { x _2},{y_2} \right) $，由题意知 ${y_1} < 0,{y_2} > 0$．直线 $ l $ 的方程为 $y = \sqrt 3 \left(x - 2\right)$．联立\[{\begin{cases}
y = \sqrt 3 \left(x - 2\right) ,\\
\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1, \\
\end{cases}}\]得\[\left(3{a^2} + {b^2}\right){y^2} + 4\sqrt 3 b^2 y - 3{b^4} = 0,\]解得\[\begin{split}{y_1} & = \dfrac{{ - \sqrt 3 {b^2}\left(2 + 2a\right)}}{{3{a^2} + {b^2}}}, {y_2} & = \dfrac{{ - \sqrt 3 {b^2}\left(2 - 2a\right)}}{{3{a^2} + {b^2}}}.\end{split}\]因为 $\overrightarrow {A{F_2}} = \overrightarrow {2{F_2}B} $，所以 $- {y_1} = 2{y_2}$．即\[\dfrac{{\sqrt 3 {b^2}\left(2 + 2a\right)}}{{3{a^2} + {b^2}}} = 2 \cdot \dfrac{{ - \sqrt 3 {b^2}\left(2 - 2a\right)}}{{3{a^2} + {b^2}}}.\]得 $a = 3$．而 ${a^2} - {b^2} = 4$，所以 $b = \sqrt 5$．故椭圆 $ C $ 的方程为 $\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
