$ f\left(x\right) $ 的定义域为 $\left(0,+ \infty \right) $，\[\begin{split}f'\left(x\right) & = \dfrac{a + 1}{x} + 2ax = \dfrac{{2a{x^2} + a + 1}}{x}.\end{split}\]当 $ a\geqslant 0 $ 时，$f'\left(x\right) >0$，故 $ f\left(x\right) $ 在 $\left(0,+ \infty \right) $ 单调递增；
当 $ a\leqslant -1 $ 时，$f'\left(x\right) <0$，故 $ f\left(x\right) $ 在 $\left(0,+ \infty \right) $ 单调递减；
当 $ -1<a<0 $ 时，令 $f'\left(x\right)=0$，解得\[x= \sqrt { - \dfrac{a + 1}{2a}} .\]当 $x\in \left(0, \sqrt { - \dfrac{a + 1}{2a}} \right) $ 时，$f'\left(x\right) >0$；$x\in \left({\sqrt { - \dfrac{a + 1}{2a}} },+ \infty \right) $ 时，$f'\left(x\right) <0$，
故 $ f\left(x\right) $ 在 $\left(0, \sqrt { - \dfrac{a + 1}{2a}} \right) $ 单调递增，在 $ \left(\sqrt { - \dfrac{a + 1}{2a}} ,+ \infty \right) $ 单调减递．

不妨设 $ x_{1}\geqslant x_{2} $．由于 $ a\leqslant -2 $，故 $ f\left(x\right) $ 在 $\left(0,+ \infty \right) $ 单调递减．
所以 $\left| {f\left({x_1}\right) - f\left({x_2}\right)} \right| \geqslant 4\left| {{x_1} - {x_2}} \right|$ 等价于\[f\left({x_2}\right) - f\left({x_1}\right) \geqslant 4x_{1}-4x_{2},\]即\[f\left(x_{2}\right)+ 4x_{2}\geqslant f\left(x_{1}\right)+ 4x_{1}.\]令 $ g\left(x\right)=f\left(x\right)+4x $，则\[\begin{split}g'\left(x\right) & = \dfrac{a + 1}{x} + 2ax +4
= \dfrac{{2a{x^2} + 4x + a + 1}}{x}.\end{split}\]于是\[\begin{split}g'\left(x\right) & \leqslant \dfrac{{ - 4{x^2} + 4x - 1}}{x} = \dfrac{{ - {{\left(2x - 1\right)}^2}}}{x} \leqslant 0.\end{split}\]从而 $ g\left(x\right) $ 在 $\left(0,+ \infty \right) $ 单调递减，故 $g\left(x_{1}\right) \leqslant g\left(x_{2}\right)$，即\[ f\left(x_{1}\right)+ 4x_{1}\leqslant f\left(x_{2}\right)+ 4x_{2}, \]故对任意 $x_{1},x_{2}\in \left(0,+ \infty \right) $，$\left| {f\left({x_1}\right) - f\left({x_2}\right)} \right| \geqslant 4\left| {{x_1} - {x_2}} \right|$．