设函数 $f\left(x\right) = \dfrac{a}{3}{x^3} + b{x^2} + cx + d\left(a > 0\right)$，且方程 $f'\left(x\right) - 9x = 0$ 的两个根分别为 $ 1 , 4 $．
【难度】
【出处】
2010年高考北京卷（文）
【标注】
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当 $ a=3 $ 且曲线 $y = f\left(x\right)$ 过原点时，求 $f\left(x\right)$ 的解析式；标注答案解析由\[ f\left(x\right)={\dfrac{a}{3}}x^3+bx^2+cx+d\]得\[f '\left(x\right)=ax^2+2bx+c.\]因为 $f '\left(x\right)-9x=ax^2+2bx+c-9x=0$ 的两个根分别为 $1,4$，
所以\[ \begin{cases}a+2b+c-9=0,\\16a+8b+c-36=0. \end{cases} \quad \cdots \cdots ① \]当 $ a=3 $ 时，由 $ ① $ 式得\[\begin{cases} 2b+c-6=0,\\8b+c+12=0.\end{cases} \]解得\[b=-3,c=12.\]又因为曲线 $ y=f\left(x\right) $ 过原点，所以 $ d=0 $．故 $ f\left(x\right)=x^3-3x^2+12x $． -
若 $f\left(x\right)$ 在 $\left( - \infty , + \infty \right)$ 内无极值点，求 $ a $ 的取值范围．标注答案解析由于 $ a>0 $，所以“$ f\left(x\right)={\dfrac{a}{3}}x^3+bx^2+cx+d $ 在 $ \left(-\infty ,+\infty \right) $ 内无极值点”等价于“$ f ′\left(x\right)=ax^2+2bx+c\geqslant 0 $ 在 $ \left(-\infty ,+\infty \right) $ 内恒成立”．
由 $ ① $ 式得\[2b=9-5a,c=4a.\]又\[\Delta =\left(2b\right)^2-4ac=9\left(a-1\right)\left(a-9\right).\]解\[ \begin{cases}a>0,\\ \Delta =9\left(a-1\right)\left(a-9\right)\leqslant 0 ,\end{cases}\]得 $ 1 \leqslant a \leqslant 9 $，即 $ a $ 的取值范围是 $ \left[1,9\right] $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
