已知椭圆 $ C $ 的左、右焦点坐标分别是 $\left( - \sqrt 2 ,0\right)$，$\left(\sqrt 2 ,0\right)$，离心率是 $\dfrac{\sqrt 6 }{3}$，直线 $y = t$ 与椭圆 $ C $ 交于不同的两点 $ M$，$N $，以线段 $ MN $ 为直径作圆 $ P $，圆心为 $ P $．
【难度】
【出处】
2010年高考北京卷（文）
【标注】
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求椭圆 $ C $ 的方程；标注答案解析因为 $ {\dfrac{c}{a}}={\dfrac{{\sqrt{6}}}{3}} $，且 $ c={\sqrt{2}} $，
所以 $a={\sqrt{3}} $，$ b={\sqrt{a^2-c^2}}=1$，
所以椭圆 $ C $ 的方程为 $ {\dfrac{x^2}{3}}+y^2=1 $． -
若圆 $ P $ 与 $ x $ 轴相切，求圆心 $ P $ 的坐标；标注答案解析由题意知 $ P\left(0,t\right)\left(-1<t<1\right) $，由 $ \begin{cases} y=t,\\ {\dfrac{x^2}{3}}+y^2=1,\end{cases} $ 得 $x=\pm {\sqrt{3\left(1-t^2\right)}}$．
所以圆 $ P $ 的半径为 $ {\sqrt{3\left(1-t^2\right)}} $．
当圆 $ P $ 与 $ x $ 轴相切时，$ |t|={\sqrt{3\left(1-t^2\right)}}$，解得 $t=\pm {\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}$．
所以点 $ P $ 的坐标是 $\left( 0,\pm {\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}} \right)$． -
设 $ Q\left(x,y\right) $ 是圆 $ P $ 上的动点，当 $ t $ 变化时，求 $ y $ 的最大值．标注答案解析由（2）知，圆 $ P $ 的方程为\[ x^2+\left(y-t\right)^2=3\left(1-t^2\right). \]因为点 $ Q\left(x,y\right) $ 在圆 $ P $ 上，所以\[y=t\pm {\sqrt{3\left(1-t^2\right)-x^2}}\leqslant t+{\sqrt{3\left(1-t^2\right)}}.\]设 $ t= \cos \theta $，$ \theta \in \left(0,{\mathrm \pi } \right) $，则\[ t+{\sqrt{3\left(1-t^2\right)}}=\cos \theta +{\sqrt{3}}\sin\theta =2\sin \left(\theta +{\dfrac{{\mathrm \pi } }{6}}\right) .\]当 $ \theta ={\dfrac{\mathrm \pi }{3}} $，即 $ t={\dfrac{1}{2}} $，且 $ x=0 $ 时，$ y $ 取最大值 $ 2 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
