题目 已知集合 ${S_n} = \left\{ X \left| \right. X = \left({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\right),{x_i} \in \left\{ {0,1} \right\} ,i = 1,2, \cdots ,n\right\} \left(n \geqslant 2\right)$．对于 $A = \left({a_1},{a_2}, \cdots {a_n} \right) , B = \left({b_1},{b_2}, \cdots, {b_n}\right) \in {S_n}$，定义 $ A $ 与 $ B $ 的差为 $A - B = \left({\left|{{a_1} - {b_1}}\right|},{\left|{{a_2} - {b_2}}\right|}, \cdots, {\left|{{a_n} - b_n}\right|}\right) $，$ A $ 与 $ B $ 之间的距离为 $\displaystyle d\left(A,B\right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{a_i} - {b_i}} \right|} $． 问题1 当 $ n=5 $ 时，设 $A = \left(0,1,0,0,1\right)$，$B = \left(1,1,1,0,0\right)$，求 $A-B $，$d\left(A,B\right)$； 答案1 解析1 $ A-B =\left({\left|{0-1}\right|},{\left|{1-1}\right|},\left|0-1|,|0-0\right|, \left|1-0 \right|\right)=\left(1,0,1,0,1\right) $．<br/>$ d\left(A,B\right)=1+0+1+0+1=3 $． 备注1 问题2 证明：$\forall A,B,C \in {S_n}$，有 $A - B \in {S_n}$，且 $d\left(A - C,B - C\right) = d\left(A,B\right)$； 答案2 解析2 设\[ A = \left({a_1},{a_2}, \cdots {a_n} \right) , B = \left({b_1},{b_2}, \cdots, {b_n}\right) , C=\left(c_1,c_2,\cdots,c_n\right)\in S_n .\]因为 $ a_i,b_i\in \left\{0,1\right\} $，所以 $ |a_i-b_i|\in \left\{0,1\right\}\left(i=1,2,\cdots,n\right) $．<br/>从而\[A-B=\left(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\cdots,|a_n-b_n|\right)\in S_n.\]又\[d\left(A-C,B-C\right)=\sum^n_{i=1} {\left|{|a_i-c_i|-|b_i-c_i|}\right|}.\]由题意知 $ a_i,b_i,c_i\in \left\{0,1\right\}\left(i=1,2,\cdots,n\right) $．<br/>当 $ c_i=0 $ 时，$ {\left|{|a_i-c_i|-|b_i-c_i|}\right|}=|a_i-b_i| $；<br/>当 $ c_i=1 $ 时，$ {\left|{|a_i-c_i|-|b_i-c_i|}\right|}=|\left(1-a_i\right)-\left(1-b_i\right)|=|a_i-b_i| $．<br/>所以 $\displaystyle d\left(A-C,B-C\right)=\sum\limits^n_{i=1} |a_i-b_i|=d\left(A,B\right) $． 备注2 问题3 证明：$\forall A,B,C \in {S_n}$，$d\left(A,B\right)$，$d\left(A,C\right)$，$d\left(B,C\right)$ 三个数中至少有一个是偶数． 答案3 解析3 设 $ A=\left(a_1,a_2,\ldots ,a_n\right),B=\left(b_1,b_2,\ldots ,b_n\right),C=\left(c_1,c_2,\ldots ,c_n\right)\in S_n $，$ d\left(A,B\right)=k $，$ d\left(A,C\right)=l $，$ d\left(B,C\right)=h $．<br/>记 $ O=\left(0,0,\cdots ,0\right)\in S_n $，由（2）可知\[\begin{split} d\left(A,B\right)&=d\left(A-A,B-A\right)=d\left(O,B-A\right)=k,\\ d\left(A,C\right)&=d\left(A-A,C-A\right)=d\left(O,C-A\right)=l ,\\ d\left(B,C\right)&=d\left(B-A,C-A\right)=h,\end{split} \]所以 $ |b_i-a_i|\left(i=1,2,\ldots ,n\right) $ 中 $ 1 $ 的个数为 $ k $，$ |c_i-a_i|\left(i=1,2,\ldots ,n\right) $ 中 $ 1 $ 的个数为 $ l $．<br/>设 $ t $ 是使 $ |b_i-a_i|=|c_i-a_i|=1 $ 成立的 $ i $ 的个数，则 $ h=l+k-2t $．<br/>由此可知，$ k$，$l$，$h $ 三个数不可能都是奇数，<br/>即 $d\left(A,B\right)$，$d\left(A,C\right)$，$d\left(B,C\right)$ 三个数中至少有一个是偶数． 备注3