题目 设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left( {a > b > 0} \right)$ 过点 $\left( {0,4} \right)$，离心率为 $\dfrac{3}{5}$． 问题1 求 $C$ 的方程； 答案1 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$． 解析1 将点 $\left( {0,4} \right)$ 代入 $C$ 的方程，得 $\dfrac{16}{b^2} = 1$，解得 $b = 4$，又 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}$，得\[\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{a^2} = \dfrac{9}{25},\]即\[1 - \dfrac{16}{a^2} = \dfrac{9}{25},\]得 $a = 5$，故 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$． 备注1 问题2 求过点 $\left( {3,0} \right)$ 且斜率为 $\dfrac 4 5 $ 的直线被 $C$ 所截线段的中点坐标． 答案2 所截线段的中点坐标为 $\left( {\dfrac{3}{2}, - \dfrac{6}{5}} \right)$． 解析2 过点 $\left( {3,0} \right)$ 且斜率为 $\dfrac{4}{5}$ 的直线方程为\[y = \dfrac{4}{5}\left( {x - 3} \right).\]设直线与 $C$ 的交点为 $A\left( {{x_1},{y_1}} \right)$，$B\left( {{x_2},{y_2}} \right)$，将直线方程 $y = \dfrac{4}{5}\left( {x - 3} \right)$ 代入 $C$ 的方程，得\[\frac{x^2}{25} + \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{25} = 1,\]即\[{x^2} - 3x - 8 = 0,\]得\[ {x_1} +x_2= 3. \]所以 $AB$ 的中点坐标\[ \begin{split}\overline x &= \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{3}{2} , \\<br/>\overline y &= \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = \frac{2}{5}\left( {{x_1} + {x_2} - 6} \right) = - \frac{6}{5}.\end{split} \]即所截线段的中点坐标为 $\left( {\dfrac{3}{2}, - \dfrac{6}{5}} \right)$． 备注2