设 $f\left(x\right) = \ln x$，$g\left(x\right) = f\left(x\right) + f'\left(x\right)$．
【难度】
【出处】
2011年高考陕西卷（文）
【标注】
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求 $g\left(x\right)$ 的单调区间和最小值；标注答案解析由题设知 $f\left(x\right) = \ln x$，$g\left(x\right) = \ln x + \dfrac{1}{x}$，
$\therefore$ $g'\left(x\right) = \dfrac{x - 1}{x^2}$，令 $g'\left(x\right) = 0$ 得 $x =1$，当 $x \in \left( {0,1} \right)$ 时，\[g'\left(x\right)<0,\]$g\left(x\right)$ 是减函数，故 $\left( {0,1} \right)$ 是 $g\left(x\right)$ 的单调减区间；
当 $x \in \left( {1, + \infty } \right)$ 时，\[g'\left(x\right) > 0,\]$g\left(x\right)$ 是增函数，故 $\left( {1, + \infty } \right)$ 是 $g\left(x\right)$ 的单调递增区间．
因此，$x = 1$ 是 $g\left(x\right)$ 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以 $g\left(x\right)$ 的最小值为 $g\left(1\right) = 1$． -
讨论 $g\left(x\right)$ 与 $g\left( {\dfrac{1}{x}} \right)$ 的大小关系；标注答案解析$g\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = - \ln x + x$．设 $h\left(x\right) = g\left(x\right) - g\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = 2\ln x - x + \dfrac{1}{x}$，则\[h'\left(x\right) = - \dfrac{{{{\left(x - 1\right)}^2}}}{x^2},\]当 $x = 1$ 时，$h\left(1\right) = 0$，即\[g\left(x\right) = g\left( {\dfrac{1}{x}} \right),\]当 $x \in \left(0,1\right) \cup \left(1, + \infty \right)$ 时，$h'\left(x\right) < 0$，因此，$h\left(x\right)$ 在 $\left(0, + \infty \right)$ 内单调递减，
当 $0 < x < 1$ 时，$h\left(x\right) > h\left(1\right) = 0$，即\[g\left(x\right) > g\left( {\dfrac{1}{x}} \right).\]当 $x > 1$ 时，$h\left(x\right) < h\left(1\right) = 0$，即\[g\left(x\right) < g\left( {\dfrac{1}{x}} \right).\] -
求 $a$ 的取值范围，使得 $g\left(a\right) - g\left(x\right) < \dfrac{1}{a}$ 对任意 $x>0$ 成立．标注答案解析由（1）知 $g\left(x\right)$ 的最小值为 $ 1 $，所以，$g\left(a\right) - g\left(x\right) < \dfrac{1}{a}$，对任意 $x > 0$ 成立 $ \Leftrightarrow g\left(a\right) - 1 < \dfrac{1}{a},$
即 $\ln a < 1$，从而得 $0 < a < {\mathrm{e}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
