\[\begin{split}f'\left(x\right) & = \dfrac{{x + a - \left(x - 1\right)}}{{{{\left(x + a\right)}^2}}} + \dfrac{1}{{x + 1}} \\& = \dfrac{{a + 1}}{{{{\left(x + a\right)}^2}}} + \dfrac{1}{{x + 1}}.\end{split}\]当 $a = 2$ 时，\[f'\left(0\right) = \dfrac{{2 + 1}}{{{{\left(0 + 2\right)}^2}}} + \dfrac{1}{{0 + 1}} = \dfrac{7}{4},\]而 $f\left(0\right) = - \dfrac{1}{2}$，因此曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(0,f\left(0\right)\right)$ 处的切线方程为\[y - \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{7}{4}\left(x - 0\right),\]即\[7x - 4y - 2 = 0.\]

因 $a \ne - 1$，由（1）知\[\begin{split}f'\left(1\right) & = \dfrac{{a + 1}}{{{{\left(1 + a\right)}^2}}} + \dfrac{1}{{1 + 1}} \\& = \dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{2},\end{split}\]又因 $f\left(x\right)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，所以 $f'\left(1\right) = 0$，即\[\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{2} = 0,\]解得\[a = - 3.\]此时 $f\left(x\right) = \dfrac{{x - 1}}{{x - 3}} + \ln \left(x + 1\right)$，其定义域为 $\left( - 1,3\right) \cup \left(3, + \infty \right)$，且\[\begin{split}f'\left(x\right) & = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left(x - 3\right)}^2}}} + \dfrac{1}{{x + 1}} \\& = \dfrac{{\left(x - 1\right)\left(x - 7\right)}}{{{{\left(x - 3\right)}^2}\left(x + 1\right)}},\end{split}\]由 $f'\left(x\right) = 0$ 得\[{x_1} = 1,{x_2} = 7,\]当 $ - 1 < x < 1$ 或 $x > 7$ 时，\[f'\left(x\right) > 0;\]当 $1 < x < 7$ 且 $x \ne 3$ 时，\[f'\left(x\right) < 0.\]由以上讨论知，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left( { - 1,1} \right]$，$\left[ {7, + \infty } \right)$ 上是增函数，在区间 $\left[ {1,3} \right)$，$\left( {3,7} \right]$ 上是减函数．