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已知集合\[\begin{split} A&=\left\{\left(x,y\right) \mid x^2+y^2\leqslant 1,x,y\in{\mathbb{Z}}\right\},\\ B&=\left\{(x,y) \mid|x|\leqslant 2,|y|\leqslant 2,x,y\in{\mathbb{Z}}\right\},\end{split}\]定义集合 $A\oplus B=\left\{\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right) \mid \left(x_1,y_1\right)\in A,\left(x_2,y_2\right)\in B\right\}$，则 $A\oplus B$ 中元素的个数为 \((\qquad)\)
A: $77$
B: $49$
C: $45$
D: $30$
【难度】
【出处】
2015年高考湖北卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    集合与映射
    >
    集合的概念与表示
【答案】
C
【解析】
集合 $A$ 包含 $5$ 个元素 $\{(0,1),(0,-1),(-1,0),(1,0),(0,0)\}$，而集合 $B$ 表示一个 $5\times 5$ 的点阵．根据 $A\oplus B$ 的定义可知，如果将 $A \oplus$ 理解为某个操作，那么这个操作作用于单个点时，就是将这个点向上、向下、向左、向右平移一个单位以及维持不动后得到 $5$ 个点．于是当 $A\oplus$ 作用于一个点集时，就是将这个点集向上、向下、向左、向右平移一个单位以及维持不动后得到新的点集，如图．不难得到，新的点集比原来多出 $20$ 个点，因此共有 $45$ 个元素．
题目 答案 解析 备注
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