题目 已知两个等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$，$\left\{ {b_n} \right\}$，满足 ${a_1} = a\left( {a > 0} \right)$，${b_1} - {a_1} = 1$，${b_2} - {a_2} = 2$，${b_3} - {a_3} = 3$． 问题1 若 $a=1$，求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式； 答案1 解析1 当 $a = 1$ 时，\[\begin{split}{b_1} & = 1 + a = 2, \\ {b_2} & = 2 + {a_2}, \\ {b_3} & = 3 + {a_3},\end{split}\]又因为 $\left\{ {a_n} \right\}$，$\left\{ {b_n} \right\}$ 为等比数列，不妨设 $\left\{ {a_n} \right\}$ 公比为 $q$，\[b_2^2 = {b_1}{b_3} \Rightarrow {\left(2 + {a_2}\right)^2} = 2\left( {3 + {a_3}} \right),\]同时又有\[\begin{split}& {a_2} = {a_1}q,{ }{a_3} = {a_1}{q^2} \\ \Rightarrow& {\left( {2 + {a_1}q} \right)^2} = 2\left( {3 + {a_1}{q^2}} \right) \\ \Rightarrow &{\left( {2 + q} \right)^2} = 2\left( {3 + {q^2}} \right) \\<br/>\Rightarrow & q = 2{ + }\sqrt 2 或 q = 2 - \sqrt 2 \end{split}\]所以\[{a_n} = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{n - 1}} 或 {a_n} = {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{n - 1}}.\] 备注1 问题2 若数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 唯一，求 $a$ 的值． 答案2 解析2 设 $\left\{ {a_n} \right\}$ 公比为 $q$，则有\[{\left( {2 + aq} \right)^2} = \left(1+a\right)\left( {3 + a{q^2}} \right),\]继而得到\[a{q^2} - 4aq + 3a - 1 = 0{ }. \quad \cdots \cdots ① \]由 $a > 0$，得\[\Delta = 4{a^2} + 4a > 0,\]故方程 ① 有两个不同实根．<br/>由 $\left\{ {a_n} \right\}$ 唯一，知方程 ① 必有一个根为 $0$，代入 ① 得\[a = \dfrac{1}{3}.\] 备注2