已知双曲线 $E: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left( {a > 0,b > 0} \right)$，$P\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ 在双曲线上，$M,N$ 分别为双曲线 $E$ 的左、右顶点，所以 $M\left( { - a,0} \right) , N\left( {a,0} \right)$，直线 $PM,PN$ 斜率之积为\[
{k_{PM}} \cdot {k_{PN}} = \frac{y_0}{{{x_0} + a}} \cdot \frac{y_0}{{{x_0} - a}} = \frac{y_0^2}{{{x_0}^2 - {a^2}}} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{5y_0^2}{a^2} = 1. \]而 $,\dfrac{x_0^2}{a^2} - \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1$，比较得\[ {b^2} = \frac{1}{5}{a^2} \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = \frac{6}{5}{a^2} \Rightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {30} }}{5} . \]

设过右焦点且斜率为 $ 1 $ 的直线 $L: y = x - c$，交双曲线 $E$ 于 $A,B$ 两点，则不妨设 $A\left( {{x_1},{y_1}} \right),B\left( {{x_2},{y_2}} \right)$，又\[ \overrightarrow {OC} = \lambda \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \left( {\lambda {x_1} + {x_2},\lambda {y_1} + {y_2}} \right) , \]点 $C$ 在双曲线 $E$ 上，所以有\[
{\left( {\lambda {x_1} + {x_2}} \right)^2} - 5{\left( {\lambda {y_1} + {y_2}} \right)^2} = {a^2} \Rightarrow {\lambda ^2}\left( {x_1^2 - 5y_1^2} \right) + 2\lambda {x_1}{x_2} - 10\lambda {y_1}{y_2} + \left( {x_2^2 - 5y_2^2} \right) = {a^2}, \quad\cdots\cdots ① \]联立直线 $L$ 和双曲线 $E$ 方程消去 $y$ 得\[4{x^2} - 10cx + 5{c^2} + {a^2} = 0,\]由韦达定理得\[\begin{split} {x_1}{x_2} &= \frac{{5{c^2} + {a^2}}}{4} , \\ {y_1}{y_2} &= {x_1}{x_2} - c\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {c^2} = \frac{{5{c^2} + {a^2}}}{4} - \frac{{5{c^2}}}{2} + {c^2}, \end{split}\]代入 $ ① $ 式得\[{\lambda ^2}+4\lambda = 0,\]解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = - 4 $．