题目 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 $14$ 件和 $5$ 件，测量产品中微量元素 $x$，$y$ 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的 $5$ 件产品的测量数据：\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline<br/>编号& 1& 2&3&4&5 \\\hline<br/>x&169&178&166&175&180 \\\hline<br/>y&75&80&77&70&81 \\\hline<br/>\end{array} 问题1 已知甲厂生产的产品共有 $98$ 件，求乙厂生产的产品数量； 答案1 解析1 根据分层抽样可得出\[\dfrac{98}{14} = 7,5 \times 7 = 35,\]即乙厂生产的产品数量为 $35$ 件． 备注1 问题2 当产品中的微量元素 $x$，$y$ 满足 $x \geqslant 175$ 且 $y \geqslant 75$ 时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； 答案2 解析2 只有编号为 $2$，$ 5$ 的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品率为 $\dfrac{2}{5}$，<br/>故乙厂生产有大约 $35 \times \dfrac{2}{5} = 14$（件）优等品． 备注2 问题3 从乙厂抽出的上述 $5$ 件产品中，随机抽取 $2$ 件，求抽取的 $2$ 件产品中优等品数 $\xi $ 的分布列及其均值（即数学期望）． 答案3 解析3 $\xi $ 的取值为 $0$，$ 1 $，$ 2$．\[\begin{split}P\left( {\xi = 0} \right) &= \frac{{{\mathrm{C}}_3^2}}{{{\mathrm{C}}_5^2}} = \frac{3}{10} ,\\ P\left( {\xi = 1} \right) &= \frac{{{\mathrm{C}}_3^1 \times {\mathrm{C}}_2^1}}{{{\mathrm{C}}_5^2}} = \frac{3}{5} ,\\ P\left( {\xi = 2} \right) &= \frac{{{\mathrm{C}}_2^2}}{{{\mathrm{C}}_5^2}}= \frac{1}{10} , \end{split}\]所以 $\xi $ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c| } \hline<br/>\xi &0&1& 2 \\\hline<br/>P& \frac{3}{10}&\frac{3}{5}&\frac{1}{10} \\\hline<br/>\end{array} \]故 $\xi $ 的均值为\[\begin{split}E\xi = 0 \times \frac{3}{10} + 1 \times \frac{3}{5} + 2 \times \frac{1}{10} = \frac{4}{5}.\end{split}\] 备注3