设 $a > 0$，讨论函数 $ f\left( x \right) = \ln x + a\left( {1 - a} \right)x^2 - 2\left( {1 - a} \right)x $ 的单调性．
【难度】
【出处】
2011年高考广东卷（文）
【标注】
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标注答案解析函数 $f\left( x \right)$ 的定义域为 $\left( {0, + \infty } \right)$，\[\begin{split}f'\left( x \right) & = \frac{1}
{x} + 2a\left( {1 - a} \right)x - 2\left( {1 - a} \right) \\& = \frac{{2a\left( {1 - a} \right)x^2 - 2\left( {1 - a} \right)x + 1}}
{x}.\end{split} \]令 $g\left( x \right) = 2a\left( {1 - a} \right){x^2} - 2\left( {1 - a} \right)x + 1$，则\[\begin{split}\Delta & = 4{\left( {1 - a} \right)^2} - 8a\left( {1 - a} \right) \\& = 12{a^2} - 16a + 4 \\& = 4\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right).\end{split}\]① 当 $0 < a < \dfrac{1}{3} $ 时，\[\Delta > 0,\]令 $f'\left( x \right) = 0$，解得\[x = \frac{{1 - a \pm \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}{{2a\left( {1 - a} \right)}} \]则当 $0 < x < \dfrac{{1 - a - \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}{{2a\left( {1 - a} \right)}}$ 或 $x > \dfrac{{1 - a + \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}{{2a\left( {1 - a} \right)}}$ 时，\[f'\left( x \right) > 0, \]当 $\dfrac{{1 - a - \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}
{{2a\left( {1 - a} \right)}} < x < \dfrac{{1 - a + \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}
{{2a\left( {1 - a} \right)}} $ 时，\[f'\left( x \right) < 0,\]则 $f\left(x\right) $ 在 $\left( {0,\dfrac{{1 - a - \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}{{2a\left( {1 - a} \right)}}} \right),\left( {\dfrac{{1 - a + \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}{{2a\left( {1 - a} \right)}}, + \infty } \right)$ 上单调递增，
在 $\left( {\dfrac{{1 - a - \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}{{2a\left( {1 - a} \right)}},\dfrac{{1 - a + \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}{{2a\left( {1 - a} \right)}}} \right)$ 上单调递减；
② 当 $\dfrac{1}{3} \leqslant a \leqslant 1 $ 时，\[\Delta \leqslant 0,f'\left( x \right) \geqslant 0,\]则 $f\left( x \right)$ 在 $\left(0,+\infty\right) $ 上单调递增；
③ 当 $a > 1$ 时，$\Delta > 0$，令 $f'\left( x \right) = 0 $，解得\[x = \dfrac{{1 - a \pm \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}{{2a\left( {1 - a} \right)}}.\]$\because$ $x > 0 $，$\therefore$\[x = \frac{{1 - a - \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}
{{2a\left( {1 - a} \right)}} \]则当 $0 < x < \dfrac{{1 - a - \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}
{{2a\left( {1 - a} \right)}} $ 时，\[f'\left( x \right) > 0,\]当 $x > \dfrac{{1 - a - \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}
{{2a\left( {1 - a} \right)}} $ 时，\[f'\left( x \right) < 0,\]则 $f\left( x \right)$ 在 $\left(0, \dfrac{{1 - a - \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}
{{2a\left( {1 - a} \right)}}\right) $ 上单调递增，在 $\left( {\dfrac{{1 - a - \sqrt {\left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} }}{{2a\left( {1 - a} \right)}}, + \infty } \right)$ 上单调递减．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
