题目 已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{m^2} + {y^2} = 1$（常数 $m > 1$），$P$ 是曲线 $C$ 上的动点，$M$ 是曲线 $C$ 的右顶点，定点 $A$ 的坐标为 $\left(2,0\right)$． 问题1 若 $M$ 与 $A$ 重合，求曲线 $C$ 的焦点坐标； 答案1 解析1 因为定点 $A$ 的坐标为 $\left(2,0\right)$，$M$ 与 $A$ 重合，<br/>所以 $m = 2$，椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{4} + {y^2} = 1$，$c = \sqrt {4 - 1} = \sqrt 3 $，<br/>所以左、右焦点坐标为 $\left( - \sqrt 3 ,0\right),\left(\sqrt 3 ,0\right)$． 备注1 问题2 若 $m = 3$，求 $\left| {PA} \right|$ 的最大值与最小值； 答案2 解析2 当 $m = 3$ 时，椭圆方程为\[\dfrac{x^2}{9} + {y^2} = 1,\]设 $P\left(x,y\right)$，则\[\begin{split}{\left| {PA} \right|^2} &= {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} \\& = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 - \dfrac{x^2}{9} \\& = \dfrac{8}{9}{\left( {x - \dfrac{9}{4}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} \left( { - 3 \leqslant x \leqslant 3} \right),\end{split}\]所以 当 $x = \dfrac{9}{4}$ 时，\[{\left| {PA} \right|_{\min }} = \dfrac{\sqrt 2 }{2};\]当 $x = - 3$ 时，\[{\left| {PA} \right|_{\max }} = 5.\] 备注2 问题3 若 $\left| {PA} \right|$ 的最小值为 $\left| {MA} \right|$，求实数 $m$ 的取值范围． 答案3 解析3 设动点 $P\left(x,y\right)$，则\[\begin{split}{\left| {PA} \right|^2} & = {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} \\& = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 - \dfrac{x^2}{m^2} \\&<br/>= \dfrac{{{m^2} - 1}}{m^2}{\left( {x - \dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} - 1}}} \right)^2} - \dfrac{{4{m^2}}}{{{m^2} - 1}} + 5 \left( { - m \leqslant x \leqslant m} \right).\end{split}\]因为当 $x = m$ 时，$\left| {PA} \right|$ 取最小值，且\[\dfrac{{{m^2} - 1}}{m^2} > 0,\]所以\[\dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} - 1}} \geqslant m,\]且 $m > 1$．解得\[1 < m \leqslant 1 + \sqrt 2 .\] 备注3