题目 某市公租房的房源位于 $A,B,C$ 三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任 $ 4 $ 位申请人中： 问题1 恰有 $ 2 $ 人申请 $A$ 片区的房源的概率； 答案1 $\dfrac{8}{27}$ 解析1 解法一：<br/>所有可能的申请方式有 ${3^4}$ 种，恰有 $ 2 $ 人申请 $A$ 片区房源的申请方式有 ${\mathrm {C}}_ 4 ^{2} \cdot {2^2}$ 种．<br/>从而恰有 $ 2 $ 人申请 $A$ 片区房源的概率为\[\dfrac{{{\mathrm {C}}_4^2 \cdot {2^2}}}{3^4} = \dfrac{8}{27}.\]解法二：<br/>设对每位申请人的观察为一次试验，这是 $ 4 $ 次独立重复试验．<br/>记“申请 $A$ 片区房源”为事件 $A$，则\[P\left( A \right) = \dfrac{1}{3}.\]从而，由独立重复试验中事件 $A$ 恰当发生 $k$ 的概率计算公式知，恰有 $ 2 $ 人申请 $A$ 片区房源的概率为\[{P_4}\left( 2 \right) = {\mathrm {C}}_4^2{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{8}{27}.\] 备注1 问题2 申请的房源所在片区的个数 $\xi $ 的分布列与期望． 答案2 $ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline\xi&1&2&3 \\\hline P&\dfrac{1}{27} &\dfrac{14}{27}&\dfrac{4}{9} \\\hline\end{array} $ $E\xi=\dfrac{65}{27}$ 解析2 $\xi $ 的所有值为 $ 1,2,3 $．又\[ \begin{split} P\left( {\xi = 1} \right) & = \frac{3}{3^4} = \frac{1}{27},\\<br/>P\left( {\xi = 2} \right) & = \frac{{{\mathrm {C}}_{ 3 }^{ 2 }\left( {{\mathrm {C}}_{ 2 }^{ 1 }{\mathrm {C}}_{ 4 }^{ 3 }+{\mathrm { C}}_{4 }^{2}{\mathrm {C}}_{ 2 }^{ 2 }} \right)}}{3^4} = \frac{14}{27}, \\ P\left( {\xi = 3} \right) & = \dfrac{{{\mathrm {C}}_{ 3 }^{ 1 }{\mathrm {C}}_{ 4 }^{ 2 }{\mathrm {C}}_{ 2 }^{ 1 }}}{{{{3}^{4}}}} = \dfrac{4}{9}.\end{split} \]综上知，$\xi $ 有分布列\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline\xi&1&2&3 \\\hline P&\dfrac{1}{27} &\dfrac{14}{27}&\dfrac{4}{9} \\\hline\end{array} \]从而有\[E\xi = 1 \times \dfrac{1}{27} + 2 \times \dfrac{14}{27} + 3 \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{65}{27}.\] 备注2