等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的各项均为正数，且 $2{a_1} + 3{a_2} = 1$，$a_3^2 = 9{a_2}{a_6}$．
【难度】
【出处】
2011年高考新课标全国卷（理）
【标注】
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求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式；标注答案解析设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公比为 $q$，由 $a_3^2 = 9{a_2}{a_6}$，得 $a_3^2 = 9a_4^2$，所以 ${q^2} = \dfrac{1}{9}$．
由条件可知 $q > 0$，故 $q = \dfrac{1}{3}$．
由 $2{a_1} + 3{a_2} = 1$，得 $2{a_1} + 3{a_1}q = 1$，所以 ${a_1} = \dfrac{1}{3}$．
故数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式为 ${a_n} = \dfrac{1}{3^n}$． -
设 ${b_n} = {\log _3}{a_1} + {\log _3}{a_2} + \cdots + {\log _3}{a_n}$，求数列 $\left\{ {\dfrac{1}{b_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和．标注答案解析结合（1）可得\[\begin{split}{b_n} &= {\log _3}{a_1} + {\log _3}{a_2} + \cdots + {\log _3}{a_n}\\ & = - \left( {1 + 2 + \cdots + n} \right)\\ &= - \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}.\end{split}\]故\[\dfrac{1}{b_n} = - \dfrac{2}{{n\left( {n + 1} \right)}} = - 2\left( {\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}} \right).\]所以\[\begin{split} &\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \cdots + \frac{1}{b_n} \\=& - 2\left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \cdots + \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}} \right)} \right] \\= &- \frac{2n}{n + 1}.\end{split}\]所以数列 $\left\{ {\dfrac{1}{b_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $ - \dfrac{2n}{n + 1}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
