题目 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 $ 102 $ 的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为 $ A $ 配方和 $ B $ 配方）做试验，各生产了 $ 100 $ 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到了下面试验结果：<br/>$ A $ 配方的频数分布表<br/>$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline<br/>指标值分组 & \left[90,94\right)& \left[94,98\right)& \left[98,102\right)& \left[102,106\right)& \left[106,110\right] \\ \hline 频数 & 8 & 20 & 42 & 22 & 8 \\ \hline \end{array} $<br/>$ B $ 配方的频数分布表<br/>$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline<br/>指标值分组 & \left[90,94\right)& \left[94,98\right)& \left[98,102\right)& \left[102,106\right)& \left[106,110\right] \\ \hline 频数 & 4 & 12 & 42 & 32 & 10 \\ \hline \end{array} $ 问题1 分别估计用 $ A $ 配方，$ B $ 配方生产的产品的优质品率； 答案1 用 $ A $ 配方生产的产品的优质品率的估计值为 $0.3$，用 $ B $ 配方生产的产品的优质品率的估计值为 $0.42$ 解析1 由试验结果知，用 $ A $ 配方生产的产品中优质品的频率为\[\dfrac{22 + 8}{100} = 0.3,\]所以用 $ A $ 配方生产的产品的优质品率的估计值为 $0.3$．<br/>由试验结果知，用 $ B $ 配方生产的产品中优质品的频率为\[\dfrac{32 + 10}{100} = 0.42,\]所以用 $ B $ 配方生产的产品的优质品率的估计值为 $0.42$． 备注1 问题2 已知用 $ B $ 配方生产一件产品的利润 $y$（单位：元）与其质量指标值 $t$ 的关系式为 $y = \begin{cases}<br/>- 2,&t < 94, \\<br/>2,&94 \leqslant t < 102, \\<br/>4,&t \geqslant 102. \\<br/>\end{cases} $ 从用 $ B $ 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 $X$（单位：元），求 $X$ 的分布列及数学期望．（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） 答案2 分布列为 $ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline<br/>X & -2 & 2 & 4 \\ \hline<br/>P & 0.04 & 0.54 & 0.42 \\ \hline<br/>\end{array} $ 数学期望 $EX=2.68$ 解析2 用 $ B $ 配方生产的 $ 100 $ 件产品中，其质量指标值落入区间 $\left[ {90,94} \right)$，$\left[ {94,102} \right)$，$\left[ {102,110} \right]$ 的频率分别为 $0.04$、$0.54$、$0.42$，因此\[ \begin{split}P\left(X = - 2\right) &= 0.04 , \\ P\left(X = 2\right) &= 0.54, \\ P\left(X = 4\right) &= 0.42,\end{split} \]即 $X$ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline<br/>X & -2 & 2 & 4 \\ \hline<br/>P & 0.04 & 0.54 & 0.42 \\ \hline<br/>\end{array} \]$X$ 的数学期望值\[ \begin{split}EX = -2 \times 0.04 + 2 \times 0.54 + 4 \times 0.42 = 2.68.\end{split} \] 备注2