在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A\left( {0, - 1} \right)$，$B$ 点在直线 $y = - 3$ 上，$M$ 点满足 $\overrightarrow {MB} \parallel \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {BA} $，$M$ 点的轨迹为曲线 $C$．
【难度】
【出处】
2011年高考新课标全国卷（理）
【标注】
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求 $C$ 的方程；标注答案解析设 $M\left( {x,y} \right)$，由已知得 $B\left( {x, - 3} \right),A\left( {0, - 1} \right)$．
所以\[ \begin{split} \overrightarrow {MA} &= \left({ - x,- 1 - y} \right),\\ \overrightarrow {MB} &= \left({0,- 3 - y} \right),\\ \overrightarrow {AB} &= \left({x,- 2} \right).\end{split} \]再由题意可知 $\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = 0 $，即 $\left( { - x, - 4 - 2y} \right) \cdot \left( {x, - 2} \right) = 0$．
所以曲线 $C$ 的方程式为 $y = \dfrac{1}{4}{x^2} - 2$． -
$P$ 为 $C$ 上的动点，$l$ 为 $C$ 在 $P$ 点处的切线，求 $O$ 点到 $l$ 距离的最小值．标注答案解析设 $P\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ 为曲线 $C:y = \dfrac{1}{4}{x^2} - 2$ 上一点，因为 $y' = \dfrac{1}{2}x$，所以 $ l $ 的斜率为 $\dfrac{1}{2}{x_0}$．
因此直线 $ l $ 的方程为 $y - {y_0} = \dfrac{1}{2}{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)$，即 ${x_0}x - 2y + 2{y_0} - x_0^2 = 0$．
则 $O$ 点到 $ l $ 的距离 $d = \dfrac{{\left| {2{y_0} - x_0^2} \right|}}{{\sqrt {x_0^2 + 4} }}$．
又 ${y_0} = \dfrac{1}{4}x_0^2 - 2$，
所以\[ d = \dfrac{{\dfrac{1}{2}x_0^2 + 4}}{{\sqrt {x_0^2 + 4} }} = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {x_0^2 + 4} + \frac{4}{{\sqrt {x_0^2 + 4} }}} \right) \geqslant 2 ,\]当 $x_0^2 = 0$ 时取等号，所以 $O$ 点到 $ l $ 距离的最小值为 $ 2 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
