在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 ${C_1}$ 的参数方程为 $ {\begin{cases}
x = 2\cos \alpha , \\
y = 2 + 2\sin \alpha , \\
\end{cases}} $（$\alpha $ 为参数），$M$ 是 ${C_1}$ 上的动点，$P$ 点满足 $\overrightarrow {OP} = 2\overrightarrow {OM} ,P$ 点的轨迹为曲线 ${C_2}$．
x = 2\cos \alpha , \\
y = 2 + 2\sin \alpha , \\
\end{cases}} $（$\alpha $ 为参数），$M$ 是 ${C_1}$ 上的动点，$P$ 点满足 $\overrightarrow {OP} = 2\overrightarrow {OM} ,P$ 点的轨迹为曲线 ${C_2}$．
【难度】
【出处】
2011年高考新课标全国卷（文）
【标注】
-
求 ${C_2}$ 的方程；标注答案解析设 $P\left( {x,y} \right)$，则由条件知 $M\left( {\dfrac{x}{2},\dfrac{y}{2}} \right)$．
由于 $M$ 点在 ${C_1}$ 上，所以\[ {\begin{cases}
\dfrac{x}{2} = 2\cos \alpha , \\
\dfrac{y}{2} = 2 + 2\sin \alpha, \\
\end{cases}} \]即\[ {\begin{cases}x = 4\cos \alpha, \\
y = 4 + 4\sin \alpha, \\
\end{cases}} \]从而 ${C_2}$ 的参数方程为\[ {\begin{cases}x = 4\cos \alpha, \\
y = 4 + 4\sin \alpha ,\\
\end{cases}} \left( \alpha 为参数\right).\] -
在以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $\theta = \dfrac{\mathrm \pi }{3}$ 与 ${C_1}$ 的异于极点的交点为 $A$，与 ${C_2}$ 的异于极点的交点为 $B$，求 $\left| {AB} \right|$．标注答案解析曲线 ${C_1}$ 的极坐标方程为\[\rho = 4\sin \theta ,\]曲线 ${C_2}$ 的极坐标方程为\[\rho = 8\sin \theta .\]射线 $\theta = \dfrac{\mathrm \pi }{3}$ 与 ${C_1}$ 的交点 $A$ 的极径为\[{\rho _1} = 4\sin \dfrac{\mathrm \pi }{3},\]射线 $\theta = \dfrac{\mathrm \pi }{3}$ 与 ${C_2}$ 的交点 $B$ 的极径为\[{\rho _2} = 8\sin \dfrac{\mathrm \pi }{3}.\]所以\[\left| {AB} \right| = \left| {{\rho _2} - {\rho _1}} \right| = 2\sqrt 3 .\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
