题目 设 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $a = 1$，$b = 2$，$\cos C = \dfrac{1}{4}$． 问题1 求 $\triangle ABC$ 的周长； 答案1 解析1 根据余弦定理\[\begin{split} {c^2} &= {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C \\&= 1 + 4 - 4 \times \dfrac{1}{4} \\&= 4,\end{split}\]解得\[c = 2.\]所以 $\triangle ABC$ 的周长为\[a + b + c = 1 + 2 + 2 = 5.\] 备注1 问题2 求 $\cos \left( {A - C} \right)$ 的值． 答案2 解析2 由 $\cos C = \dfrac{1}{4}$，再结合 $C$ 为三角形内角，所以\[\begin{split}\sin C &= \sqrt {1 - {{\cos }^2}C} \\&= \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} \\&= \frac{{\sqrt {15} }}{4},\end{split}\]又根据正弦定理\[\begin{split} \sin A &= \frac{a\sin C}{c}\\& = \frac{{\dfrac{{\sqrt {15} }}{4}}}{2} \\&= \frac{{\sqrt {15} }}{8}.\end{split}\]因为 $a < c$，可知\[A < C,\]故 $A$ 为锐角，故\[\begin{split} \cos A &= \sqrt {1 - {{\sin }^2}A} \\&= \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{8}} \right)}^2}} \\&= \frac{7}{8},\end{split}\]综上可得\[\begin{split} \cos \left( {A - C} \right) &= \cos A\cos C + \sin A\sin C \\&= \frac{7}{8} \times \frac{1}{4} + \frac{{\sqrt {15} }}{8} \times \frac{{\sqrt {15} }}{4} \\&= \frac{11}{16}.\end{split}\] 备注2