题目 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知双曲线 $ C_1:2x^2-y^2=1 $． 问题1 过 $ C_1 $ 的左顶点引 $ C_1 $ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 $ x $ 轴围成的三角形的面积； 答案1 $ \dfrac{{\sqrt{2}}}{8} $． 解析1 双曲线 $ C_1:\dfrac{ x^2} {\dfrac{1}{2}} -y^2=1 $，左顶点 $ A \left(-{\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}},0\right) $，渐近线方程 $ y=\pm {\sqrt{2}}x $．<br/>过点 $ A $ 与渐近线 $ y={\sqrt{2}}x $ 平行的直线方程为\[ y={\sqrt{2}} \left(x+{\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}} \right),\]即\[ y={\sqrt{2}}x+1 .\]解方程组\[ \begin{cases}y=-{\sqrt{2}}x,\\y={\sqrt{2}}x+1, \end{cases} 得 \begin{cases}x=-{\dfrac{{\sqrt{2}}}{4}},\\y={\dfrac{1}{2}},\end{cases} \]所以所求三角形的面积为\[ S={\dfrac{1}{2}}|OA||y|={\dfrac{{\sqrt{2}}}{8}}. \] 备注1 问题2 设斜率为 $ 1 $ 的直线 $ l $ 交 $ C_1 $ 于 $ P$，$Q $ 两点．若 $ l $ 与圆 $ x^2+y^2=1 $ 相切．求证：$ OP\perp OQ $； 答案2 略． 解析2 设直线 $ PQ $ 的方程是 $ y=x+b $．<br/>因直线 $ PQ $ 与已知圆相切，故 $ {\dfrac{|b|}{{\sqrt{2}}}}=1 $，即 $ b^2=2 $．<br/>由 $ \begin{cases}y=x+b,\\2x^2-y^2=1 , \end{cases} $ 得\[ x^2-2bx-b^2-1=0. \]设 $ P\left(x_1,y_1\right)$，$Q\left(x_2,y_2\right) $，则\[ \begin{cases} x_1+x_2=2b,\\x_1x_2=-1-b^2.\end{cases} \]又 $ y_1y_2=\left(x_1+b\right)\left(x_2+b\right) $，所以\[ \begin{split} {\overrightarrow {OP}}\cdot {\overrightarrow {OQ}} & =x_1x_2+y_1y_2\\&=2x_1x_2+b\left(x_1+x_2\right)+b^2\\&=2\left(-1-b^2\right)+2b^2+b^2\\&=b^2-2\\&=0.\end{split} \]故 $ OP\perp OQ $． 备注2 问题3 设椭圆 $ C_2:4x^2+y^2=1 $．若 $ M$，$N $ 分别是 $ C_1$，$C_2 $ 上的动点，且 $ OM\perp ON $，求证：$ O $ 到直线 $ MN $ 的距离是定值． 答案3 略． 解析3 当直线 $ ON $ 垂直于 $ x $ 轴时，$ |ON|=1$，$|OM|={\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}} $，则 $ O $ 到直线 $ MN $ 的距离为 $ {\dfrac{{\sqrt{3}}}{3}} $．<br/>当直线 $ ON $ 不垂直于 $ x $ 轴时，设直线 $ ON $ 的方程为 $ y=kx $（显然 $ |k|>{\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}} $），<br/>则直线 $ OM $ 的方程为 $ y=-{\dfrac{1}{k}}x $．<br/>由 $ \begin{cases} y=kx,\\4x^2+y^2=1,\end{cases} $ 得\[ \begin{cases} x^2={\dfrac{1}{4+k^2}},\\y^2={\dfrac{k^2}{4+k^2}},\end{cases} \]所以\[ |ON|^2={\dfrac{1+k^2}{4+k^2}}. \]同理 $ |OM|^2={\dfrac{1+k^2}{2k^2-1}} $．<br/>设 $ O $ 到直线 $ MN $ 的距离为 $ d $，因为\[ \left(|OM|^2+|ON|^2\right)d^2=|OM|^2|ON|^2 ,\]所以\[ {\dfrac{1}{d^2}}={\dfrac{1}{|OM|^2}}+{\dfrac{1}{|ON|^2}}={\dfrac{3k^2+3}{k^2+1}}=3, \]即\[ d={\dfrac{{\sqrt{3}}}{3}}. \]综上，$ O $ 到直线 $ MN $ 的距离是定值． 备注3