由 $ f\left( \text{e} \right)=2 $，得 $ b=2 $．

由（1）可得 $ f\left( x \right)=-ax+2+ax\ln x $，从而 $ {f}'\left( x \right)=a\ln x $．
因为 $ a\ne 0 $，故：
① 当 $ a>0 $ 时，由 $ {f}'\left( x \right)>0 $ 得 $ x>1 $，由 $ {f}'\left( x \right)<0 $ 得 $ 0<x<1 $；
② 当 $ a<0 $ 时，由 $ {f}'\left( x \right)>0 $ 得 $ 0<x<1 $，由 $ {f}'\left( x \right)<0 $ 得 $ x>1 $．
综上，当 $ a>0 $ 时，函数 $ f\left( x \right) $ 的单调递增区间为 $ \left( 1, +\infty \right) $，单调递减区间为 $ \left( 0, 1 \right)$；
当 $a<0$ 时，函数 $f\left( x \right)$ 的单调递增区间为 $\left( 0, 1 \right)$，单调递减区间为 $\left( 1, +\infty \right)$．

当 $ a=1 $ 时，$ f\left( x \right)=-x+2+x\ln x $，$ {f}'\left( x \right)=\ln x $．
由（2）可得，当 $ x $ 在区间 $ \left[\dfrac{1}{\rm{e}} , \rm{e} \right] $ 内变化时，$ {f}'\left( x \right) $，$ f\left( x \right) $ 的变化情况如下表：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
x& \frac 1 {\rm{e}} & \left(\frac 1{\rm{e}},1\right) & 1 & \left(1 ,{\rm{e}}\right) & {\rm{e}} \\ \hline
f'\left(x\right) & & - & 0 & + & \\ \hline
f\left(x\right) & 2 - \frac 2 {\rm{e}} & 单调递减 & 极小值1 & 单调递增 & 2 \\ \hline
\end{array} \]又 $ 2 - \dfrac 2 {\rm{e}} < 2 $，所以函数 $f\left(x\right)\left(x \in \left[ \dfrac 1 {\rm{e}} , {\rm{e}}\right]\right)$ 的值域为 $\left[1,2\right]$．
据此可得，若 $\begin{cases} m=1, \\ M =2 , \end{cases} $ 则对每一个 $t \in \left[m,M\right] $，直线 $y=t $ 与曲线 $y=f\left(x\right) \left(x \in \left[ \dfrac 1 {\rm{e}} , {\rm{e}}\right]\right)$ 都有公共点；
并且对每一个 $t \in \left(-\infty ,m\right) \cup \left(M,+\infty\right) $，直线 $y=t $ 与曲线 $y=f\left(x\right) \left(x \in \left[ \dfrac 1 {\rm{e}} , {\rm{e}}\right]\right)$ 都没有公共点．
综上，当 $a=1 $ 时，存在最小的实数 $ m=1$，最大的实数 $ M=2$，使得对每一个 $ t \in \left[m,M\right]$，直线 $y=t $ 与曲线 $y=f\left(x\right) \left(x \in \left[ \dfrac 1 {\rm{e}} , {\rm{e}}\right]\right)$ 都有公共点．