题目 设函数 $ f\left(x\right)=ax^n\left(1-x\right)+b\left(x>0\right) $，$ n $ 为正整数，$ a,b $ 为常数．曲线 $ y=f\left(x\right) $ 在 $ \left(1,f\left(1\right)\right) $ 处的切线方程为 $ x+y=1 $． 问题1 求 $ a$，$b $ 的值； 答案1 $a=1,b=0.$ 解析1 因为 $ f\left(1\right)=b $，由点 $ \left(1,b\right) $ 在 $ x+y=1 $ 上，可得 $1+b=1 $，即\[ b=0. \]因为 $ f '\left(x\right)=anx^{n-1}-a\left(n+1\right)x^n$，所以\[ f'\left(1\right)=-a. \]又因为切线 $ x+y=1 $ 的斜率为 $ -1 $，所以 $ -a=-1 $，即 $ a=1$，故\[ a=1,b=0. \] 备注1 问题2 求函数 $ f\left(x\right) $ 的最大值； 答案2 $\dfrac{n^n}{\left(n+1\right)^{n+1}}$ 解析2 由（1）知，\[ \begin{split} f\left(x\right)&=x^n\left(1-x\right)=x^n-x^{n+1},\\f'\left(x\right)&=\left(n+1\right)x^{n-1} \left({\dfrac{n}{n+1}}-x\right) .\end{split} \]令 $ f'\left(x\right)=0 $，解得\[ x={\dfrac{n}{n+1}},\]在 $ \left(0,{\dfrac{n}{n+1}} \right)$ 上，$f'\left(x\right)>0 $，则 $ f\left(x\right) $ 单调递增；<br/>而在 $\left( {\dfrac{n}{n+1}},+\infty\right) $ 上，$ f'\left(x\right)<0 $，则 $ f\left(x\right) $ 单调递减．<br/>故 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left(0,+\infty \right) $ 上的最大值为\[ \begin{split}f\left({\dfrac{n}{n+1}}\right) &=\left( {\dfrac{n}{n+1}}\right)^ n \left(1-{\dfrac{n}{n+1}}\right)\\& ={\dfrac{n^n}{\left(n+1\right)^{n+1}}}.\end{split} \] 备注2 问题3 证明：$ f\left(x\right)<{\dfrac{1}{n{\mathrm {e}}}} $． 答案3 解析3 令\[ \varphi \left(t\right)=\ln t-1+{\dfrac{1}{t}}\left(t>0\right), \]则\[ \varphi'\left(t\right)={\dfrac{1}{t}}-{\dfrac{1}{t^2}}={\dfrac{t-1}{t^2}}\left(t>0\right). \]在 $ \left(0,1\right) $ 上，$ \varphi'\left(t\right)<0 $，则 $ \varphi \left(t\right) $ 单调递减；<br/>而在 $ \left(1,+\infty \right) $ 上，$ \varphi'\left(t\right)>0 $，则 $ \varphi \left(t\right) $ 单调递增．<br/>故 $ {\mathrm {\varphi \left(t\right)}} $ 在 $ \left(0,+\infty \right) $ 上的最小值为\[ \varphi \left(1\right)=0, \]从而 $ \varphi \left(t\right)>0\left(t>1\right) $，即\[ \ln t>1-{\dfrac{1}{t}}\left(t>1\right). \]令 $ t=1+{\dfrac{1}{n}} $，得\[ \ln{\dfrac{n+1}{n}}>{\dfrac{1}{n+1}}, \]即\[\ln\left( {\dfrac{n+1}{n}}\right) ^{n+1}>\ln {\mathrm {e}}, \]所以\[ \left({\dfrac{n+1}{n}} \right)^{n+1}>{\mathrm {e}}, \]即\[ {\dfrac{n^n}{\left(n+1\right)^{n+1}}}<{\dfrac{1}{n{\mathrm {e}}}},\]由（2）知，\[ f\left(x\right)\leqslant {\dfrac{n^n}{\left(n+1\right)^{n+1}}}<{\dfrac{1}{n{\mathrm {e}}}}, \]故所证不等式成立． 备注3