题目 $ \triangle ABC$ 的面积是 $ 30 $，内角 $ A$，$B$，$ C$ 所对边长分别为 $ a$，$b $，$c $，$\cos A = \dfrac{12}{13}$． 问题1 求 $ \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}$； 答案1 解析1 由 $\cos A = \dfrac{12}{13}$，得\[\sin A = \sqrt {1 - {{\left(\dfrac{12}{13}\right)}^2}} = \dfrac{5}{13}.\]又 $\dfrac{1}{2}bc\sin A = 30$，所以\[bc = 156.\]所以\[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = bc\cos A = 156 \times \dfrac{12}{13} = 144.\] 备注1 问题2 若 $c - b = 1$，求 $ a$ 的值． 答案2 解析2 由已知得\[\begin{split}{a^2} &= {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \\&= {\left(c - b\right)^2} + 2bc\left(1 - \cos A\right) \\&= 1 + 2 \cdot 156 \cdot \left(1 - \dfrac{12}{13}\right) \\&= 25,\end{split}\]所以\[a = 5.\] 备注2