因为 $f\left( x \right) = 2{x^3} + a{x^2} + bx + 1$，故\[f'\left( x \right) = 6{x^2} + 2ax + b,\]从而\[f'\left( x \right) = 6{\left( {x + \dfrac{a}{6}} \right)^2} + b - \dfrac{a^2}{6},\]即 $y = f'\left( x \right)$ 关于直线 $x = - \dfrac{a}{6}$ 对称，从而由题设条件知 $- \dfrac{a}{6} = - \dfrac{1}{2}$，解得 $a = 3$．又由于 $f'\left( 1 \right) = 0$，即 $6 + 2a + b = 0$，解得 $b = - 12$．

由（1）知\[\begin{split}f\left( x \right) & = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 1 , \\ f'\left( x \right) & = 6{x^2} + 6x - 12 \\& = 6\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right).\end{split}\]令 $f'\left( x \right) = 0$，即\[6\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0,\]解得 ${x_1} = - 2 , {x_2} = 1$．当 $x \in \left( { - \infty , - 2} \right)$ 时，\[f'\left( x \right) > 0,\]故 $f\left( x \right)$ 在 $\left( { - \infty , - 2} \right)$ 上为增函数；
当 $x \in \left( { - 2,1} \right)$ 时，\[f'\left( x \right) < 0,\]故 $f\left( x \right)$ 在 $\left( { - 2,1} \right)$ 上为减函数；
当 $x \in \left( {1, + \infty } \right)$ 时，\[f'\left( x \right) > 0,\]故 $f\left( x \right)$ 在 $\left( {1, + \infty } \right)$ 上为增函数．
从而函数 $f\left( x \right)$ 在 ${x_1} = - 2$ 处取得极大值 $f\left( { - 2} \right) = 21$，在 ${x_2} = 1$ 处取得极小值 $f\left( 1 \right) = - 6$．