在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，且满足 $c\sin A = a\cos C$．
【难度】
【出处】
2011年高考湖南卷（理）
【标注】
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求角 $C$ 的大小；标注答案$C = \dfrac{\mathrm \pi} {4}$．解析由正弦定理得\[\sin C\sin A = \sin A\cos C .\]因为 $0 < A < {\mathrm \pi} $，所以 $\sin A > 0$，从而\[\sin C = \cos C,\]又 $\cos C \ne 0$，所以 $\tan C = 1$，则 $C = \dfrac{\mathrm \pi} {4}$．
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求 $\sqrt 3 \sin A - \cos \left( {B + \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$ 的最大值，并求取得最大值时角 $A$，$B$ 的大小．标注答案$A = \dfrac{\mathrm \pi} {3}$，$B = \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{12}$．解析由（1）知 $B = \dfrac{3{\mathrm \pi} }{4} - A$．于是\[ \begin{split}\sqrt 3 \sin A - \cos \left( {B + \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right) &= \sqrt 3 \sin A - \cos \left( {{\mathrm \pi} - A} \right) \\ &= \sqrt 3 \sin A + \cos A \\ &= 2\sin \left( {A + \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right).\end{split} \]因为 $0 < A <\dfrac{3{\mathrm \pi} }{4}$，所以\[\dfrac{\mathrm \pi} {6} < A + \dfrac{\mathrm \pi} {6} < \dfrac{{11{\mathrm \pi} }}{12},\]从而当 $A + \dfrac{\mathrm \pi} {6} = \dfrac{\mathrm \pi} {2}$，即 $A = \dfrac{\mathrm \pi} {3}$ 时，$2\sin \left( {A + \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)$ 取最大值 $2.$
综上所述，$\sqrt 3 \sin A - \cos \left( {B + \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$ 的最大值为 $2$，此时 $A = \dfrac{\mathrm \pi} {3}$，$B = \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{12}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
