某企业在第 $1$ 年初购买一台价值为 $120$ 万元的设备 $M$，$M$ 的价值在使用过程中逐年减少．从第 $2$ 年到第 $6$ 年，每年初 $M$ 的价值比上年初减少 $10$ 万元；从第 $7$ 年开始，每年初 $M$ 的价值为上年初的 $75\%$．
【难度】
【出处】
2011年高考湖南卷（文）
【标注】
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求第 $n$ 年初 $M$ 的价值 ${a_n}$ 的表达式；标注答案解析当 $n \leqslant 6$ 时，数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 是首项为 $120$，公差为 $ - 10$ 的等差数列．\[{a_n} = 120 - 10\left(n - 1\right) = 130 - 10n ;\]当 $n \geqslant 6$ 时，数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 是以 ${a_6}$ 为首项，公比为 $\dfrac{3}{4}$ 的等比数列，又 ${a_6} = 70$，所以\[{a_n} = 70 \times {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{n - 6}} .\]因此，第 $n$ 年初，$M$ 的价值 ${a_n}$ 的表达式为\[{a_n} = {\begin{cases}
130 - 10n,&n \leqslant 6 ,\\
70 \times {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{n - 6}},&n \geqslant 7. \\
\end{cases}}\] -
设 $A_n = \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$，若 $A_n$ 大于 $80$ 万元，则 $M$ 继续使用，否则须在第 $n$ 年初对 $M$ 更新．证明：须在第 $9$ 年初对 $M$ 更新．标注答案解析设 ${S_n}$ 表示数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的前 $n$ 项和，由等差及等比数列的求和公式得：
当 $1 \leqslant n \leqslant 6$ 时，\[\begin{split}{S_n} & = 120n - 5n\left( {n - 1} \right), \\ {A_n} & = 120 - 5\left( {n - 1} \right) = 125 - 5n ;\end{split}\]当 $n \geqslant 7$ 时，\[\begin{split} {S_n} &= {S_6} + \left( {{a_7} + {a_8} + \cdots + {a_n}} \right) \\ &= 570 + 70 \times \frac{3}{4} \times 4 \times \left[ {1 - {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^{n - 6}}} \right] \\ &= 780 - 210 \times {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{n - 6}}, \\ {A_n} & = \dfrac{{780 - 210 \times {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^{n - 6}}}}{n} .\end{split}\]因为 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是递减数列，所以 $\left\{ {A_n} \right\}$ 是递减数列，又\[\begin{split}{A_8} & = \dfrac{{780 - 210 \times {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^{8 - 6}}}}{8} = 82\dfrac{47}{64} > 80, \\ {A_9} & = \dfrac{{780 - 210 \times {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^{9 - 6}}}}{9} = 76\dfrac{79}{96} < 80,\end{split}\]所以须在第 $9$ 年初对 $M$ 更新．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
