因为 $A + B + C = {\mathrm \pi }$，所以\[B + C = {\mathrm \pi } - A,\]又 $1 + 2\cos \left(B + C\right) = 0$，所以\[1 + 2\cos \left({\mathrm \pi } - A\right) = 0,\]即 $1 - 2\cos A = 0$，$\cos A = \dfrac{1}{2}$，又 $0 < A < {\mathrm \pi }$，所以\[A = \dfrac{\mathrm \pi }{3}.\]在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ 得\[\sin B = \dfrac{b\sin A}{a} = \dfrac{{\sqrt 2 \sin \dfrac{\mathrm \pi }{3}}}{\sqrt 3 } = \dfrac{\sqrt 2 }{2},\]又因为 $b < a$，所以 $B < A$，$B = \dfrac{\mathrm \pi }{4}$，$C = \dfrac{{5{\mathrm \pi }}}{12}$，
所以 $BC$ 边上的高为\[\begin{split}AC \cdot \sin C & = \sqrt 2 \sin \dfrac{{5{\mathrm \pi }}}{12} \\& = \sqrt 2 \sin \left(\dfrac{\mathrm \pi }{4} + \dfrac{\mathrm \pi }{6}\right) \\&
= \sqrt 2 \left(\sin \dfrac{\mathrm \pi }{4}\cos \dfrac{\mathrm \pi }{6} + \cos \dfrac{\mathrm \pi }{4}\sin \dfrac{\mathrm \pi }{6}\right) \\&
= \sqrt 2 \left( {\dfrac{\sqrt 2 }{2} \times \dfrac{\sqrt 3 }{2} + \dfrac{\sqrt 2 }{2} \times \dfrac{1}{2}} \right) \\& = \dfrac{\sqrt 3 + 1}{2}.\end{split}\]