反证法：
假设 ${l_1}$ 与 ${l_2}$ 不相交，则 ${l_1}$ 与 ${l_2}$ 平行，有\[{k_1} = {k_2},\]代入 ${k_1}{k_2} + 2 = 0$，得\[k_1^2 + 2 = 0,\]此与 ${k_1}$ 为实数的事实相矛盾，从而\[{k_1} \ne {k_2},\]即 ${l_1}$ 与 ${l_2}$ 相交．

解法一：
由\[{\begin{cases}
y = {k_1}x + 1, \\
y = {k_2}x - 1 ,\\
\end{cases}}\]得交点坐标为\[\left( {\dfrac{2}{{{k_2} - {k_1}}},\dfrac{{{k_2} + {k_1}}}{{{k_2} - {k_1}}}} \right),\]又 ${k_1}{k_2} + 2 = 0 , {k_2} = \dfrac{ - 2}{k_1}$，代入交点坐标得交点为\[\left( {\dfrac{{ - 2{k_1}}}{{{k_1^2} + 2}},\dfrac{{2 - {k_1^2}}}{{{k_1^2} + 2}}} \right),\]代入 $2{x^2} + {y^2}$ 得\[2{\left( {\dfrac{{ - 2{k_1}}}{{{k_1^2} + 2}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{2 - {k_1^2}}}{{{k_1^2 }+ 2}}} \right)^2} = 1,\]所以 ${l_1}$ 与 ${l_2}$ 的交点在椭圆 $2{x^2} + {y^2} = 1$ 上．
解法二：
交点 $P$ 的坐标 $\left(x,y\right)$ 满足\[ {\begin{cases}
y - 1 = {k_1}x, \\
y + 1 = {k_2}x, \\
\end{cases}} \]故知 $x \ne 0$，从而\[ \begin{split}{\begin{cases}{k_1} = \dfrac{y - 1}{x}, \\
{k_2} = \dfrac{y + 1}{x}. \\
\end{cases}}\end{split} \]代入 ${k_1}{k_2} + 2 = 0$，得\[\dfrac{y - 1}{x} \cdot \dfrac{y + 1}{x} + 2 = 0,\]整理后，得\[2{x^2} + {y^2} = 1,\]所以交点 $P$ 在椭圆 $2{x^2} + {y^2} = 1$ 上．