在数 $1$ 和 $100$ 之间插入 $n$ 个实数，使得这 $n + 2$ 个数构成递增的等比数列，将这 $n + 2$ 个数的乘积记作 ${T_n}$，再令 ${a_n} = \lg {T_n}$，$n \geqslant 1$．
【难度】
【出处】
2011年高考安徽卷（理）
【标注】
-
求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式；标注答案解析设 ${t_1}$，${t_2}$，$\cdots$，$ {t_{n + 2}}$ 构成等比数列，其中\[{t_1} = 1,{t_{n + 2}} = 100,\]则\[{T_n} = {t_1} \cdot {t_2} \cdot \cdots \cdot {t_{n + 1}} \cdot {t_{n + 2}},\quad \cdots\cdots ① \\ {T_n} = {t_{n + 2}} \cdot {t_{n + 1}} \cdot \cdots \cdot {t_2} \cdot {t_1},\quad \cdots\cdots ② \]① $\times$ ② 并利用 ${t_i}{t_{n + 3 - i}} = {t_1}{t_{n + 2}} = {10^2}\left(1 \leqslant i \leqslant n + 2\right)$，得\[\begin{split} T_n^2 & = \left({t_1}{t_{n + 2}}\right) \cdot \left({t_2}{t_{n + 1}}\right) \cdot \cdots \cdot \left({t_{n + 1}}{t_2}\right) \cdot \left({t_{n + 2}}{t_1}\right) \\&= {10^{2\left(n + 2\right)}}.\end{split}\]所以\[{a_n} = \lg {T_n} = n + 2 , n \geqslant 1.\]
-
设 ${b_n} = \tan {a_n} \cdot \tan {a_{n + 1}}$，求数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S_n}$．标注答案解析由题意和（1）中计算结果，知\[{b_n} = \tan \left(n + 2\right) \cdot \tan \left(n + 3\right),n \geqslant 1.\]由\[\begin{split} \tan 1 &= \tan \left[ {\left(k + 1\right) - k} \right]\\& = \dfrac{\tan \left(k + 1\right) - \tan k}{1 + \tan \left(k + 1\right) \cdot \tan k},\end{split}\]得\[\tan \left(k + 1\right) \cdot \tan k = \dfrac{\tan \left(k + 1\right) - \tan k}{\tan 1} - 1,\]所以\[\begin{split}{S_n}& = \sum\limits_{k = 1}^n {b_k} \\&= \sum\limits_{k = 3}^{n + 2} {\tan \left( {k + 1} \right)} \cdot \tan k\\& = \sum\limits_{k = 3}^{n + 2} {\left( {\dfrac{{\tan \left( {k + 1} \right) - \tan k}}{\tan 1} - 1} \right)} \\& = \dfrac{\tan \left(n + 3\right) - \tan 3}{\tan 1} - n.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
