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设点 $M\left( {{x_0},1} \right)$，若在圆 $O:{x^2} + {y^2} = 1$ 上存在点 $N$，使得 $\angle OMN = 45^\circ $，则 ${x_0}$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[ { - 1, 1} \right]$
B: $\left[ { - \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}} \right]$
C: $\left[ { - \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right]$
D: $\left[ { - \dfrac{\sqrt 2 }{2},\dfrac{\sqrt 2 }{2}} \right]$
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅱ卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆
    >
    直线与圆的位置关系
【答案】
A
【解析】
考虑"在圆 $O:{x^2}+{y^2}= 1$ 上存在点 $N$，使得 $\angle OMN = 45^\circ$ "这一条件，其本质即从点 $M$ 处看圆 $O$ 的"张角"（$M$ 位于圆外时为过 $M$ 的两条切线所成的角；当 $M$ 位于圆上时为过 $M$ 的切线，即点 $M$ 处的平角；当 $M$ 位于圆内时为点 $M$ 处的周角．）不小于 $90^\circ$．如图，对圆 $O$ 的"张角"为 $90^\circ$ 的点的轨迹为以 $O$ 为圆心，$\sqrt 2$ 为半径的圆，因此只需要点 $M$ 在该圆内（包括圆上），不难求得 $x_0$ 的取值范围是 $[-1,1]$．
题目 答案 解析 备注
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