已知 $\left\{ {a_n}\right\} $ 是以 $a$ 为首项，$q$ 为公比的等比数列，${S_n}$ 为它的前 $n$ 项和．
【难度】
【出处】
2011年高考四川卷（文）
【标注】
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当 ${S_1},{S_3},{S_4}$ 成等差数列时，求 $q$ 的值；标注答案解析由已知，\[{a_n} = a{q^{n - 1}},\]因此\[\begin{split}{S_1} &= a , \\ {S_3} &= a\left(1 + q + {q^2}\right) , \\ {S_4} &= a\left(1 + q + {q^2} + {q^3}\right).\end{split}\]当 ${S_1},{S_3},{S_4}$ 成等差数列时，\[{S_4} - {S_3} = {S_3} - {S_1},\]可得\[a{q^3} = aq + a{q^2}.\]化简得\[{q^2} - q - 1 = 0.\]解得\[q = \dfrac{1 \pm \sqrt 5 }{2}.\]
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当 ${S_m},{S_n},{S_l}$ 成等差数列时，求证：对任意自然数 $k$，${a_{m + k}}$，${a_{n + k}}$，${a_{l + k}}$ 也成等差数列．标注答案解析若 $q = 1$，则 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的每项均为 $a$，此时 ${a_{m + k}} , {a_{n + k}} , {a_{l + k}}$ 显然构成等差数列．
若 $q \ne 1$，由 ${S_m},{S_n},{S_l}$ 构成等差数列可得\[{S_m} + {S_l} = 2{S_n},\]即\[\dfrac{{a\left({q^m} - 1\right)}}{q - 1} + \dfrac{{a\left({q^l} - 1\right)}}{q - 1} = \dfrac{{2a\left({q^n} - 1\right)}}{q - 1}.\]整理得\[{q^m} + {q^l} = 2{q^n}.\]因此，\[\begin{split}{a_{m + k}} + {a_{l + k}} & = a{q^{k - 1}}\left({q^m} + {q^l}\right) \\& = 2a{q^{n + k - 1}} \\& = 2{a_{n + k}}.\end{split}\]所以，${a_{m + k}},{a_{n + k}},{a_{l + k}}$ 成等差数列．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
