在 $\triangle ABC$ 中，$A$、$B$、$C$ 的对边分别是 $a$、$b$、$c$，已知 $3a\cos A = c\cos B + b\cos C$．
【难度】
【出处】
2011年高考江西卷（文）
【标注】
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求 $\cos A$ 的值；标注答案$ \dfrac{1}{3} $解析由\[3a\cos A = c\cos B + b\cos C,\]结合正弦定理得\[3\sin A\cos A = \sin C\cos B + \sin B\cos C = \sin \left(B + C\right),\]即\[3\sin A\cos A = \sin A,\]因为 $A$ 为三角形内角，故 $\sin A\ne0$，解得\[\cos A = \dfrac{1}{3},\]故 $ \cos A$ 的值为 $ \dfrac{1}{3} $．
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若 $a = 1$，$\cos B + \cos C = \dfrac{2\sqrt 3 }{3}$，求边 $c$ 的值．标注答案$ \dfrac{\sqrt 3 }{2} $解析由\[\cos B + \cos C = \dfrac{2\sqrt 3 }{3},\]得\[\cos \left({\mathrm \pi} - A - C\right) + \cos C = \dfrac{2\sqrt 3 }{3},\]展开并结合 $\cos A = \dfrac{1}{3}$，$\sin A = \dfrac{2\sqrt 2 }{3}$ 化简得\[\cos C + \sqrt 2 \sin C = \sqrt 3,\]解得\[ \sin C = \dfrac{\sqrt 6 }{3},\]由正弦定理得\[\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C},\]解得\[ c = \dfrac{\sqrt 3 }{2}.\]故边 $c $ 的值为 $ \dfrac{\sqrt 3 }{2} $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
