已知两个等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$，$\left\{ {b_n} \right\}$，满足 ${a_1} = a$ $\left( {a > 0} \right)$，${b_1} - {a_1} = 1$，$ {b_2} - {a_2} = 2$，${b_3} - {a_3} = 3$，若数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 唯一，求 $a$ 的值；
【难度】
【出处】
2011年高考江西卷（文）
【标注】
【答案】
【解析】
设 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公比为 $ q_1$，由\[ {b_1} = 1 + a ,{b_2} = 2 + {a_2},{b_3} = 3 + {a_3}, b_2^2 = {b_1}{b_3} ,\]得\[ {\left( {2 + a{q_1}} \right)^2} = \left( {1 + a} \right)\left( {3 + aq_1^2} \right) \]所以\[ aq_1^2 - 4a{q_1} + 3a - 1 = 0 ,\]若数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 唯一，$\because a > 0$，而\[\Delta = {\left( {4a} \right)^2} - 4a\left( {3a - 1} \right) \geqslant 0 \Rightarrow 4a\left( {a + 1} \right) > 0 ,\]$\therefore aq_1^2 - 4a{q_1} + 3a - 1 = 0$ 有两个根，再由公比 $q$ 的值不可能为 $0$，可得方程 $aq_1^2 - 4a{q_1} + 3a - 1 = 0$ 必有一根为 $0$（否则就会有两个公比，即两个数列），可推得 $3a - 1 = 0$，$a = \dfrac{1}{3}$．
答案
解析
备注
