题目 在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $B = C$，$2b = \sqrt 3 a$． 问题1 求 $\cos A$ 的值； 答案1 $ \dfrac{1}{3} $ 解析1 由 $B = C$，$2b = \sqrt 3 a$，可得\[c = b = \dfrac{\sqrt 3 }{2}a,\]所以\[\begin{split}\cos A& = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2bc} \\&= \dfrac{{\dfrac{3}{4}{a^2} + \dfrac{3}{4}{a^2} - {a^2}}}{{2 \times \dfrac{\sqrt 3 }{2}a \times \dfrac{\sqrt 3 }{2}a}} \\&= \dfrac{1}{3}.\end{split}\] 备注1 问题2 求 $\cos \left(2A + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}\right)$ 的值． 答案2 $ - \dfrac{8 + 7\sqrt 2 }{18}$ 解析2 因为 $\cos A = \dfrac{1}{3}$，$A \in \left(0,{\mathrm \pi} \right)$，所以\[\begin{split}\sin A &= \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \dfrac{2\sqrt 2 }{3} ,\\ \cos 2A &= 2{\cos ^2}A - 1 = - \dfrac{7}{9}.\end{split}\]故\[\sin 2A = 2\sin A\cos A = \dfrac{4\sqrt 2 }{9}.\]所以\[\begin{split}\cos \left( {2A + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}} \right) &= \cos 2A\cos \dfrac{{\mathrm \pi} }{4} - \sin 2A\sin \dfrac{{\mathrm \pi} }{4} \\&= \left( { - \dfrac{7}{9}} \right) \times \dfrac{\sqrt 2 }{2} - \dfrac{4\sqrt 2 }{9} \times \dfrac{\sqrt 2 }{2}\\& = - \dfrac{8 + 7\sqrt 2 }{18}.\end{split}\] 备注2