在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$．已知 $\dfrac{\cos A - 2\cos C}{\cos B} = \dfrac{2c - a}{b}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $\dfrac{\sin C}{\sin A}$ 的值；标注答案解析由正弦定理得\[\begin{split}a &= 2R\sin A,\\
b &= 2R\sin B,\\
c &= 2R\sin C,\end{split}\]所以\[\begin{split}\frac{\cos A - 2\cos C}{\cos B} &= \frac{2c - a}{b} \\&= \frac{2\sin C - \sin A}{\sin B},\end{split}\]即\[\sin B\cos A - 2\sin B\cos C = 2\sin C\cos B - \sin A\cos B,\]即有\[\sin \left(A + B\right) = 2\sin \left(B + C\right),\]也就是\[\sin C = 2\sin A,\]所以\[\frac{\sin C}{\sin A} = 2.\] -
若 $\cos B = \dfrac{1}{4}$，$\triangle ABC$ 的周长为 $5$，求 $b$ 的长．标注答案解析由（1）知 $\dfrac{\sin C}{\sin A} = 2$，所以有 $\dfrac{c}{a} = 2$，即\[c = 2a,\]又因为 $\triangle ABC$ 的周长为 $ 5 $，所以\[b = 5 - 3a,\]由余弦定理得：\[{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ac\cos B,\]即\[{\left(5 - 3a\right)^2} = {\left(2a\right)^2} + {a^2} - 4{a^2} \times \frac{1}{4},\]解得 $a = 1$，所以 $b = 2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
