对于数对序列 $P:\left( {{a_{1}},{b_1}} \right) , \left( {{a_{2}},{b_2}} \right) , \cdots , \left( {{a_{n}},{b_n}} \right)$，记 ${T_1}\left( P \right) = {a_1} + {b_1}$，${T_k}\left( P \right) = {b_k} + \max \left\{ {{T_{k - 1}}\left( P \right),{a_1} + {a_2} + \cdots + {a_k}} \right\}\left( {2 \leqslant k \leqslant n} \right)$，其中 $\max \left\{ {{T_{k - 1}}\left( P \right),{a_1} + {a_2} + \cdots + {a_k}} \right\}$ 表示 ${T_{k - 1}}\left( P \right)$ 和 ${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_k}$ 两个数中最大的数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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对于数对序列 $P:\left( {2,5} \right)$，$\left( {4,1} \right)$，求 ${T_1}\left( P \right) $，$ {T_2}\left( P \right)$ 的值；标注答案${T_1}\left( P \right) = 7 ;{T_2}\left( P \right)= 8$解析结合题意进行分析．根据题意可得\[\begin{split}{T_1}\left( P \right) &= 2 + 5 = 7 , \\ {T_2}\left( P \right) & = 1 + \max \left\{ {{T_1}\left( P \right),2 + 4} \right\} \\& = 1 + \max \left\{ {7,6} \right\} \\& = 1 + 7 = 8.\end{split}\]
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记 $m$ 为 $a,b,c,d$ 四个数中最小的数，对于由两个数对 $\left( {a,b} \right)$，$ \left( {c,d} \right)$ 组成的数对序列 $P:\left( {a,b} \right)$，$\left( {c,d} \right)$ 和 $P':\left( {c,d} \right)$，$\left( {a,b} \right)$，试分别对 $m = a$ 和 $m = d$ 两种情况比较 ${T_2}\left( P \right)$ 和 ${T_2}\left( {P'} \right)$ 的大小；标注答案这两种情况下都有 ${T_2}\left( P \right) \leqslant {T_2}\left( {P'} \right)$解析表示出每种情况下 ${T_2}\left( P \right) $，$ {T_2}\left( {P'} \right)$ 利用比较法确定大小关系．当 $m = a$ 时，\[\begin{split}{T_1}\left( P \right) &= a + b,\\ {T_2}\left( P \right) &= d + \max \left\{ {a + b,a{ + }c} \right\} = a{ + }d + \max \left\{ {b,c} \right\}; \\ {T_1}\left( {P'} \right) &= c{ + }d , \\ {T_2}\left( {P'} \right) &= b + \max \left\{ {c + d,c + a} \right\} = b + c + \max \left\{ {a,d} \right\} = b + c + d;\end{split}\]因为 $a$ 是 $a,b,c,d$ 中最小的数，所以 $a + \max \left\{ {b,c} \right\} \leqslant b + c$，从而\[{T_2}\left( P \right) \leqslant {T_2}\left( {P'} \right);\]当 $m = d$ 时，\[\begin{split}{T_1}\left( P \right) & = a + b , \\ {T_2}\left( P \right) & = d + \max \left\{ {a + b,a + c} \right\} = a + d + \max \left\{ {b,c} \right\}; \\ {T_2}\left( {P'} \right) & = b + \max \left\{ {c + d,c + a} \right\} = b + c + \max \left\{ {a,d} \right\} = a + b + c;\end{split}\]因为 $d$ 是 $a,b,c,d$ 中最小的数，所以 $d + \max \left\{ {b,c} \right\} \leqslant b + c$，从而\[{T_2}\left( P \right) \leqslant {T_2}\left( {P'} \right).\]综上，这两种情况下都有 ${T_2}\left( P \right) \leqslant {T_2}\left( {P'} \right)$．
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在由 $5$ 个数对 $\left( {11,8} \right)$，$ \left( {5,2} \right) $，$ \left( {16,11} \right)$，$\left( {11,11} \right) $，$ \left( {4,6} \right)$ 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 $P$ 使 ${T_5}\left( P \right)$ 最小，并写出 ${T_5}\left( P \right)$ 的值．（只需写出结论）标注答案数对序列为 $P:\left(4,6\right),\left(11,11\right),\left(16,11\right),\left(11,8\right),\left(5,2\right)$（不唯一），此时 $T_5\left(P\right) =52$．解析结合第 $2$ 问的结论，猜测在数对序列中，$a_k$ 和 $b_k$ 中 最小的数字出现在序列最前或者最后时，$T_n\left(P\right)$ 最小所以．数对序列 $P:\left(4,6\right),\left(11,11\right),\left(16,11\right),\left(11,8\right),\left(5,2\right)$（不唯一）对应的 $T_5\left(P\right)$ 最小，此时 $T_1\left(P\right) =10,T_2\left(P\right) =26,T_3\left(P\right) =42,T_4\left(P\right) =50,T_5\left(P\right) =52$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
