题目 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，对于直线 $l:ax + by + c = 0$ 和点 ${P_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right)$，${P_2}\left( {{x_2},{y_2}} \right)$，记 $\eta = \left( {a{x_1} + b{y_1} + c} \right)\left( {a{x_2} + b{y_2} + c} \right)$．若 $\eta < 0$，则称点 ${P_1}$，${P_2}$ 被直线 $l$ 分隔．若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 ${P_1}$，${P_2}$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线． 问题1 求证：点 $A\left( {1,2} \right)$，$B\left( { - 1,0} \right)$ 被直线 $x + y - 1 = 0$ 分隔； 答案1 解析1 将此两点代入得 $\eta = - 4 < 0$，所以点 $A$，$B$ 被直线 $x + y - 1 = 0$ 分隔． 备注1 问题2 若直线 $y = kx$ 是曲线 ${x^2} - 4{y^2} = 1$ 的分隔线，求实数 $k$ 的取值范围； 答案2 解析2 直线 $y = f\left(x\right)$ 是曲线 ${x^2} - 4{y^2} = 1$ 有公共点的充要条件是方程组\[\begin{cases}<br/>y = kx \\<br/>{x^2} - 4{y^2} = 1 \\<br/>\end{cases}\]有解，即 $\left| k \right| < \dfrac{1}{2}$．<br/>因为直线 $y = f\left(x\right)$ 是曲线 ${x^2} - 4{y^2} = 1$ 的分隔线，故它们没有公共点，因此\[\left| k \right| \geqslant \dfrac{1}{2}.\]当 $\left| k \right| \geqslant \dfrac{1}{2}$ 时，对于直线 $y = f\left(x\right)$，曲线 ${x^2} - 4{y^2} = 1$ 上的点 $\left( { - 1,0} \right)$ 和 $\left( {1,0} \right)$ 满足\[\eta = - {k^2} < 0,\]即点 $\left( { - 1,0} \right)$ 和 $\left( {1,0} \right)$ 被 $y = k x + b$ 分隔．<br/>故实数 $k$ 的取值范围是\[\left( { - \infty , - \dfrac{1}{2}} \right] \cup \left[ {\dfrac{1}{2}, + \infty } \right).\] 备注2 问题3 动点 $M$ 到点 $Q\left( {0,2} \right)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为 $1$，设点 $M$ 的轨迹为 $E$，求 $E$ 的方程，并证明 $y$ 轴为曲线 $E$ 的分隔线． 答案3 解析3 设 $M\left( {x,y} \right)$，则曲线 $E$ 的方程为\[\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \cdot \left| x \right| = 1,\]即\[\left[ {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \right] \cdot {x^2} = 1.\]对任意的 ${y_0}$，$\left( {0,{y_0}} \right)$ 不是上述方程的解，即 $y$ 轴与曲线 $E$ 没有公共点．<br/>又曲线 $E$ 上的点 $\left( { - 1,2} \right)$ 和 $\left( {1,2} \right)$ 对于 $y$ 轴满足 $\eta < 0$，<br/>即点 $\left( { - 1,2} \right)$ 和 $\left( {1,2} \right)$ 被 $y$ 轴分隔．所以 $y$ 轴是曲线 $E$ 的分隔线． 备注3