以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 $ X $ 表示．\[ \begin{array}{cc|c|ccc}
&甲组&&乙组 \\ \hline
9&9&0&X&8&9\\
1&1&1&0
\end{array} \]（注：方差 ${s^2} = \dfrac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + \ldots + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]$，其中 $\overline x $ 为 ${x_1},{x_2},\cdots ,{x_n}$ 的平均数）
&甲组&&乙组 \\ \hline
9&9&0&X&8&9\\
1&1&1&0
\end{array} \]（注：方差 ${s^2} = \dfrac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + \ldots + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]$，其中 $\overline x $ 为 ${x_1},{x_2},\cdots ,{x_n}$ 的平均数）
【难度】
【出处】
2011年高考北京卷（理）
【标注】
-
如果 $ X=8 $，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；标注答案解析当 $ X=8 $ 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是 $ 8,8,9,10 $，所以平均数为\[{\dfrac{8+8+9+10}{4}}={\dfrac{35}{4}};\]方差为\[s^2 ={\dfrac{1}{4}} \left[\left( 8-{\dfrac{35}{4}}\right) ^2+\left( 8-{\dfrac{35}{4}}\right)^ 2+\left( 9-{\dfrac{35}{4}}\right) ^2+ \left(10-{\dfrac{35}{4}}\right) ^2 \right]
={\dfrac{11}{16}}.\] -
如果 $ X=9 $，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 $ Y $ 的分布列和数学期望．标注答案解析当 $ X=9 $ 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是 $ 9,9,11,11 $；乙组同学的植树棵数是 $ 9,8,9,10 $．
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 $ 4\times 4=16 $ 种可能的结果，这两名同学植树总棵数 $ Y $ 的可能取值为 $ 17,18,19,20,21 $．
事件“$ Y=17 $”等价于“甲组选出的同学植树 $ 9 $ 棵，乙组选出的同学植树 $ 8 $ 棵”，
所以该事件有 $ 2 $ 种可能的结果，因此\[P\left(Y=17\right)={\dfrac{2}{16}}={\dfrac{1}{8}}.\]同理可得\[P\left(Y=18\right)={\dfrac{1}{4}};P\left(Y=19\right)={\dfrac{1}{4}};
P\left(Y=20\right)={\dfrac{1}{4}};P\left(Y=21\right)={\dfrac{1}{8}}.\]所以随机变量 $ Y $ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
Y& 17 &18& 19& 20& 21 \\ \hline
P &{\dfrac{1}{8}}& {\dfrac{1}{4}}& {\dfrac{1}{4}}& {\dfrac{1}{4}}& {\dfrac{1}{8}} \\ \hline
\end{array}\]所以数学期望为\[\begin{split} EY &
=17×{\dfrac{1}{8}}+18×{\dfrac{1}{4}}+19×{\dfrac{1}{4}}+20×{\dfrac{1}{4}}+21×{\dfrac{1}{8}}
=19. \end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
