提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度 $v$（单位：千米/小时）是车流密度 $x$（单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度都达到 $ 200 $ 辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为 $ 0 $；当车流密度不超过 $ 20 $ 辆 /千米时，车流速度为 $ 60 $ 千米/小时，研究表明：当 $20 \leqslant x \leqslant 200$ 时，车流速度 $ v $ 是车流密度 $ x $ 的一次函数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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当 $0 \leqslant x \leqslant 200$ 时，求函数 $ v\left(x\right) $ 的表达式；标注答案解析由题意：当 $0 \leqslant x \leqslant 20$ 时，\[v\left( x \right) = 60;\]当 $20 \leqslant x \leqslant 200$ 时，设\[v\left( x \right) = ax + b,\]再由已知得\[ {\begin{cases}
200a + b = 0, \\
20a + b = 60, \\
\end{cases}} \]解得\[ {\begin{cases}a = - \dfrac{1}{3}, \\
b = \dfrac{{200}}{3}. \\
\end{cases}} \]故函数 $v\left( x \right)$ 的表达式为\[ v\left( x \right) = {\begin{cases}60,&0 \leqslant x < 20, \\
\dfrac{1}{3}\left( {200 - x} \right),&20 \leqslant x \leqslant 200. \\
\end{cases}} \] -
当车流密度 $x$ 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）$f\left( x \right) = x \cdot v\left( x \right)$ 可以达到最大，并求出最大值．（精确到 $ 1 $ 辆/小时）．标注答案解析依题意并由（1）可得\[ f\left( x \right) = {\begin{cases}
60x,&0 \leqslant x < 20, \\
\dfrac{1}{3}x\left( {200 - x} \right),&20 \leqslant x \leqslant 200. \\
\end{cases}} \]当 $0 \leqslant x \leqslant 20$ 时，$f\left( x \right)$ 为增函数，故当 $x = 20$ 时，其最大值为\[60 \times 20 = 1200;\]当 $20 \leqslant x \leqslant 200$ 时，\[\begin{split} f\left( x \right) &= \frac{1}{3}x\left( {200 - x} \right)\\ &\leqslant \frac{1}{3}{\left[ {\frac{{x + \left( {200 - x} \right)}}{2}} \right]^2} \\&= \frac{{10000}}{3} .\end{split}\]当且仅当 $x = 200 - x$，即 $x = 100$ 时，等号成立．
所以，当 $x = 100$ 时，$f\left( x \right)$ 在区间 $\left[ {20,200} \right]$ 上取得最大值 $\dfrac{{10000}}{3}$．
综上，当 $x = 100$ 时，$f\left( x \right)$ 在区间 $\left[ {0,200} \right]$ 上取得最大值\[\dfrac{{10000}}{3} \approx 3333.\]即当车流密度约为 $ 100 $ 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 $3333$ 辆/小时．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
