由题知，三棱锥 $P - ABC$ 是正三棱锥，
所以 侧棱与底边所成角相同且底面 $\triangle ABC$ 是边长为 $ 2 $ 的正三角形，
由题得，$\angle ABC = \angle BCA = \angle CAB = \dfrac{\pi }{3}$，\[\angle {P_1}BA = \angle {P_1}AB = \angle {P_2}BC = \angle {P_2}CB = \angle {P_3}AC = \angle {P_3}CA,\]又 $A,B,C$ 三点恰好在 ${P_1},{P_2},{P_3}$ 构成的 $\triangle {P_1}{P_2}{P_3}$ 的三条边上，
所以\[\begin{split}\angle {P_1}BA & = \angle {P_1}AB \\& = \angle {P_2}BC = \angle {P_2}CB \\& = \angle {P_3}AC = \angle {P_3}CA \\& = \dfrac{\pi }{3},\end{split}\]所以\[\begin{split}{P_1}A & = {P_1}B \\& = {P_2}B = {P_2}C \\& = {P_3}C = {P_3}A \\& = 2,\end{split}\]故\[{P_1}{P_2} = {P_1}{P_3} = {P_2}{P_3} = 4,\]三棱锥 $P - ABC$ 是边长为 $ 2 $ 的正四面体，
设顶点 $P$ 在底面 $ABC$ 内的投影为 $O$，连接 $BO$，并延长交 $AC$ 于 $D$，
所以 $D$ 为 $AC$ 中点，$O$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，$PO \perp $ 底面 $ABC$，
可得出\[\begin{split}BO & = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}, \\ PO & = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3},\end{split}\]因此\[\begin{split}V & = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3} \\& = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}.\end{split}\]