已知参数方程 $\Gamma:\begin{cases} x=\dfrac{t^2-2t}{t^2+1},\\ y=\dfrac{-t-2}{t^2+1},\end{cases}$ 其中 $t$ 为参数且 $t\in\mathbb {R}$，判断参数方程 $\Gamma$ 表示何种二次曲线，并求其对称轴方程及离心率．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
此参数方程 $\Gamma$ 表示椭圆，其离心率为 $\dfrac{2\sqrt 2}3$
【解析】
看到分母 $t^2+1$，联想到恒等式 $\left(\dfrac{t^2-1}{t^2+1}\right)^2+\left(\dfrac{2t}{t^2+1}\right)^2=1$，以及三角换元．
\paragraph {\color{cyan}代数变形} 根据已知，有$$x-2y=\dfrac{t^2+4}{t^2+1}=1+\dfrac{3}{t^2+1},$$且$$2x-y=\dfrac{2t^2+2-3t}{t^2+1}=2-\dfrac{3t}{t^2+1},$$因此$$\begin{cases} x-2y-\dfrac 52=\dfrac 32\cdot \dfrac{1-t^2}{t^2+1},\\ 2x-y-2=-\dfrac 32\cdot \dfrac{2t}{t^2+1},\end{cases}$$于是该参数方程对应的普通方程为$$\left(x-2y-\dfrac 52\right)^2+(2x-y-2)^2=\dfrac 94,$$也即$$5x^2+5y^2-8xy-13x+14y+8=0.$$该二次曲线有界曲线且不是圆可得曲线表示的是椭圆．
其次，联立直线$$\begin{cases} x-2y-\dfrac 52=0,\\2x-y-2=0,\end{cases}$$得到它们的交点 $E\left(\dfrac 12,-1\right )$，这就是椭圆的中心（椭圆上的任意一点关于 $E$ 的对称点在椭圆上）．于是我们将坐标系的原点平移到点 $E$，得到新坐标系 $x'Ey'$，坐标变换公式为$$\begin{cases} x'=x-\dfrac 12,\\y'=y+1. \end{cases}$$于是得到曲线在新坐标系下的方程为$$(x'-2y')^2+(2x'-y')^2=\dfrac 94.$$这条曲线关于 $y'=x'$ 以及 $y'=-x'$ 对称，所以 $y'=\pm x'$ 是椭圆的两条对称轴，即 $y=x-\dfrac 32$ 与 $y=-x-\dfrac 12$ 是椭圆的两条对称轴．
分别将直线 $y=x-\dfrac 32$ 与 $y=-x-\dfrac 12$ 与椭圆 $E$ 联立可得$$2\left(x-\dfrac 12\right)^2=\dfrac 94,2\left(3x-\dfrac 32\right)^2=\dfrac 94,$$因此长轴长平方与短轴长平方之比\footnote{事实上，长轴长和短轴长分别为 $3$ 和 $1$．}为 $9:1$，进而可得离心率为 $\dfrac{2\sqrt 2}3$．
\paragraph {\color{cyan}三角换元}令 $t=\tan \theta$，则$$x=\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta=-\sin 2\theta-\dfrac 12\cos 2\theta+\dfrac 12,$$且$$y=-\sin\theta\cos\theta-2\cos^2\theta=-\dfrac 12\sin 2\theta-\cos 2\theta-1,$$从而解得$$\begin{cases} \sin 2\theta=-\dfrac 43x+\dfrac 23y+\dfrac 43,\\ \cos 2\theta =\dfrac 23x-\dfrac 43y-\dfrac 53,\end{cases}$$于是由$$\left(-\dfrac 43x+\dfrac 23y+\dfrac 43\right)^2+\left(\dfrac 23x-\dfrac 43y-\dfrac 53\right)^2=1$$化简即得，以下略．
\paragraph {\color{cyan}代数变形} 根据已知，有$$x-2y=\dfrac{t^2+4}{t^2+1}=1+\dfrac{3}{t^2+1},$$且$$2x-y=\dfrac{2t^2+2-3t}{t^2+1}=2-\dfrac{3t}{t^2+1},$$因此$$\begin{cases} x-2y-\dfrac 52=\dfrac 32\cdot \dfrac{1-t^2}{t^2+1},\\ 2x-y-2=-\dfrac 32\cdot \dfrac{2t}{t^2+1},\end{cases}$$于是该参数方程对应的普通方程为$$\left(x-2y-\dfrac 52\right)^2+(2x-y-2)^2=\dfrac 94,$$也即$$5x^2+5y^2-8xy-13x+14y+8=0.$$该二次曲线有界曲线且不是圆可得曲线表示的是椭圆．
其次，联立直线$$\begin{cases} x-2y-\dfrac 52=0,\\2x-y-2=0,\end{cases}$$得到它们的交点 $E\left(\dfrac 12,-1\right )$，这就是椭圆的中心（椭圆上的任意一点关于 $E$ 的对称点在椭圆上）．于是我们将坐标系的原点平移到点 $E$，得到新坐标系 $x'Ey'$，坐标变换公式为$$\begin{cases} x'=x-\dfrac 12,\\y'=y+1. \end{cases}$$于是得到曲线在新坐标系下的方程为$$(x'-2y')^2+(2x'-y')^2=\dfrac 94.$$这条曲线关于 $y'=x'$ 以及 $y'=-x'$ 对称，所以 $y'=\pm x'$ 是椭圆的两条对称轴，即 $y=x-\dfrac 32$ 与 $y=-x-\dfrac 12$ 是椭圆的两条对称轴．
分别将直线 $y=x-\dfrac 32$ 与 $y=-x-\dfrac 12$ 与椭圆 $E$ 联立可得$$2\left(x-\dfrac 12\right)^2=\dfrac 94,2\left(3x-\dfrac 32\right)^2=\dfrac 94,$$因此长轴长平方与短轴长平方之比\footnote{事实上，长轴长和短轴长分别为 $3$ 和 $1$．}为 $9:1$，进而可得离心率为 $\dfrac{2\sqrt 2}3$．\paragraph {\color{cyan}三角换元}令 $t=\tan \theta$，则$$x=\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta=-\sin 2\theta-\dfrac 12\cos 2\theta+\dfrac 12,$$且$$y=-\sin\theta\cos\theta-2\cos^2\theta=-\dfrac 12\sin 2\theta-\cos 2\theta-1,$$从而解得$$\begin{cases} \sin 2\theta=-\dfrac 43x+\dfrac 23y+\dfrac 43,\\ \cos 2\theta =\dfrac 23x-\dfrac 43y-\dfrac 53,\end{cases}$$于是由$$\left(-\dfrac 43x+\dfrac 23y+\dfrac 43\right)^2+\left(\dfrac 23x-\dfrac 43y-\dfrac 53\right)^2=1$$化简即得，以下略．
答案
解析
备注
