题目 已知函数 $f(x)=\dfrac x4+\dfrac ax-\ln x-\dfrac 32$，其中 $a\in{\mathbb R}$，且曲线 $y=f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线垂直于直线 $y=\dfrac 12x$． 问题1 求 $a$ 的值； 答案1 $a=\dfrac 54$ 解析1 根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac 14-\dfrac 1x-\dfrac{a}{x^2},$$而 $f'(1)=-2$，从而解得 $a=\dfrac 54$． 备注1 问题2 求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值． 答案2 函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(5,+\infty )$，单调递减区间是 $(0,5)$．极小值为 $f(5)=-\ln 5$ 解析2 由第 $(1)$ 小题的结果，可得$$f'(x)=\dfrac{x+1}{4x^2}\cdot (x-5),x>0$$于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(5,+\infty )$；单调递减区间是 $(0,5)$．在 $x=5$ 处取得极小值，极小值为 $f(5)=-\ln 5$． 备注2