如图，已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 作直线与双曲线右支交于 $P,Q$ 两点，且 $PF_1\perp PQ$．记 $\lambda =\dfrac{|PQ|}{|PF_1|}$，若 $\lambda\in\left[\dfrac {5}{12},\dfrac{4}{3}\right]$，则双曲线离心率可以是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
ABC
【解析】
不妨设 $a=1$，则 $|F_1F_2|=2e$，其中 $e$ 为双曲线的离心率．设 $|PF_1|=x$，则 $|PQ|=\lambda x$，$|PF_2|=x-2$，$|QF_2|=(\lambda -1)x+2$，$|QF_1|=(\lambda-1)x+4$，其中 $x>2$．
根据题意有$$\begin{cases} x^2+(\lambda x)^2=\left[(\lambda -1)x+4\right]^2,\\ x^2+(x-2)^2=(2e)^2,\end{cases}$$整理得$$\begin{cases} (x^2-4x)\cdot\lambda +4x-8=0,\\ 2e^2=x^2-2x+2,\end{cases}$$由第一个式子可得$$\dfrac 4{\lambda}=\dfrac{4x-x^2}{x-2}=2-x+\dfrac{4}{x-2},$$于是随着 $\lambda$ 的增大，$\dfrac 4{\lambda}$ 减小，而 $x$ 增大，进而离心率 $e$ 增大，因此 $e$ 是关于 $\lambda$ 的单调递增函数．
设 $t_0=x-2$，则 $t_0$ 是关于 $t$ 的方程$$t^2+\dfrac{4}{\lambda}t-4=0$$的正根，于是$$x=-\dfrac 2{\lambda}+2\sqrt{\dfrac{1}{\lambda^2}+1}+2,$$因此 $x$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{12}{5},3\right]$，对应的离心率 $e$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt{37}}5,\dfrac{\sqrt{10}}2\right]$．
根据题意有$$\begin{cases} x^2+(\lambda x)^2=\left[(\lambda -1)x+4\right]^2,\\ x^2+(x-2)^2=(2e)^2,\end{cases}$$整理得$$\begin{cases} (x^2-4x)\cdot\lambda +4x-8=0,\\ 2e^2=x^2-2x+2,\end{cases}$$由第一个式子可得$$\dfrac 4{\lambda}=\dfrac{4x-x^2}{x-2}=2-x+\dfrac{4}{x-2},$$于是随着 $\lambda$ 的增大，$\dfrac 4{\lambda}$ 减小，而 $x$ 增大，进而离心率 $e$ 增大，因此 $e$ 是关于 $\lambda$ 的单调递增函数．
设 $t_0=x-2$，则 $t_0$ 是关于 $t$ 的方程$$t^2+\dfrac{4}{\lambda}t-4=0$$的正根，于是$$x=-\dfrac 2{\lambda}+2\sqrt{\dfrac{1}{\lambda^2}+1}+2,$$因此 $x$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{12}{5},3\right]$，对应的离心率 $e$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt{37}}5,\dfrac{\sqrt{10}}2\right]$．
题目
答案
解析
备注
