已知三个角 $A,B,C$ 的和为 $2\pi$，求 $\sin A+\sin B+\sin C$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{3\sqrt 3}2$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}\sin A+\sin B+\sin C&=\sin A+\sin B-\sin (A+B)\\ &=\sin A\cdot(1-\cos B)+\cos A\cdot (-\sin B)+\sin B\\ &\leqslant \sqrt{\sin^2A+\cos^2 A}\cdot\sqrt{(1-\cos B)^2+\sin^2B}+\sin B\\&=\sqrt{2-2\cos B}+\sin B\\&\leqslant 2\left|\sin{\dfrac B2}\right |+2\left|\sin\dfrac B2\cos\dfrac B2\right|\\&=2\sqrt{\left(1-\left|\cos{\dfrac B2}\right|\right )\left(1+\left|\cos{\dfrac B2}\right|\right )^3}\\&=\dfrac{2}{\sqrt 3}\cdot\sqrt{\left(3-3\left|\cos{\dfrac B2}\right|\right )\left(1+\left|\cos{\dfrac B2}\right|\right )\left(1+\left|\cos{\dfrac B2}\right |\right )\left(1+\left|\cos{\dfrac B2}\right |\right )}\\&\leqslant \dfrac {2}{\sqrt 3}\cdot\sqrt{\left(\dfrac 64\right )^4}=\dfrac{3\sqrt 3}{2}.\end{split}\]等号成立需要$$\begin{cases} &\sin A(-\sin B)=\cos A(1-\cos B),\\&\sin B\geqslant 0,\cos A<0,\\&3-3\left|\cos\dfrac B2\right |=1+\left|\cos\dfrac B2\right|,\end{cases}$$解得$$A=\dfrac {2\pi}{3}+2k\pi,B=\dfrac {2\pi}{3}+2k'\pi,k,k'\in\mathbb{Z}$$时有最大值．
当然，消去两元后得到的一元函数，换元后求导也可以求出最值．
当然，消去两元后得到的一元函数，换元后求导也可以求出最值．
答案
解析
备注
