已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ 且满足 $a_n=\dfrac 12\left(S_n+\dfrac{1}{S_n}\right)$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac{1}{\sin\frac{\pi}{2^n}},n\in\mathbb N^*$
【解析】
根据题意，有$$\dfrac{1}{S_{n-1}}=\dfrac{\frac{2}{S_n}}{1-\frac 1{S_n^2}},$$于是 $\dfrac{1}{S_n}=\tan\dfrac {\pi}{2^{n+1}}$，进而 $a_n=\dfrac{1}{\sin\frac{\pi}{2^n}}$．
答案
解析
备注
